Quadrivettore

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In relatività ristretta, un quadrivettore, o tetravettore, è un vettore dello spaziotempo di Minkowski, rappresentato da una quadrupla di valori, che nelle trasformazioni di coordinate tra due riferimenti inerziali rispetta le trasformazioni di Lorentz.
Le componenti del quadrivettore si trasformano rispetto alla base standard dello spaziotempo di Minkowski come la differenza tra le rispettive coordinate spaziali e temporali, e l'insieme delle rotazioni, traslazioni e cambi di coordinate tra due sistemi di riferimento inerziali[1] alle quali sono soggetti i quadrivettori è il Gruppo di Poincaré.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

In relatività generale, il termine quadrivettore identifica un vettore dello spazio tangente allo spazio-tempo o anche, per estensione, un vettore dello spazio cotangente. Qui saranno descritti i quadrivettori in relatività ristretta: la relatività generale generalizza il concetto di quadrivettore, ma richiede delle modifiche ai risultati descritti in questo articolo.

Un quadrivettore è una quadrupla di valori:

 \mathbf{X} := \left(X^0, X^1, X^2, X^3 \right) = \left(ct, x, y, z \right)

che nella base standard dello spazio-tempo Minkowski rappresenta un evento. I quattro valori sono le coordinate nello spazio e nel tempo dell'evento, in particolare \mu  = 0, 1, 2, 3, sono le componenti spaziali, e c è la velocità della luce. Il fatto che  X^0 = ct garantisce inoltre che le componenti abbiano la stessa unità di misura.[2][3][4]
Il quadrivettore spostamento:

 \Delta \mathbf{X}:= \left(c\Delta t, \Delta x, \Delta y, \Delta z \right)

è la distanza tra due punti dello spaziotempo.
Il raggio vettore che congiunge l'origine di un sistema di riferimento ad un evento qualsiasi dello spazio-tempo è l'esempio più elementare di quadrivettore; le sue componenti sono le coordinate nello spazio-tempo dell'evento in questione, cioè (ct,x,y,z).

In genere i quadrivettori sono indicati in modo più economico e conveniente utilizzando la loro generica coordinata {A}^{i} [5].

Covarianza e controvarianza di un quadrivettore[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Covarianza e controvarianza.

Gli indici in alto indicano che il quadrivettore è espresso nella sua forma controvariante: un quadrivettore controvariante è definito come una quaterna di valori che trasformano, nel passaggio da un sistema di riferimento inerziale ad un altro, come le coordinate di un evento, cioè secondo le trasformazioni di Lorentz. Contraendo l'indice con uno degli indici del tensore metrico \mathbf g si ottiene l'espressione covariante del quadrivettore:

{A}_{\mu}=\sum_{\nu=0}^{3}{g}_{\mu \nu}{A}^{\nu}={g}_{\mu \nu}{A}^{\nu}

dove nell'ultimo termine si è usata la convenzione di Einstein che prevede la somma sugli indici ripetuti; in questa somma \nu assume i valori da 0 a 3. L'operazione appena eseguita si chiama innalzamento o abbassamento degli indici ed è in realtà dovuta alle relazioni tra lo spazio tangente e il suo spazio duale, lo spazio cotangente.

Volendo esprimere l'ugualianza in termini matriciali, possiamo considerare Aμ e Aμ le componenti di due vettori colonna e gμν le componenti di una matrice 4 \times 4 che rappresenta un'applicazione lineare:

\left( \begin{matrix} A_0 \\ A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{matrix} \right) =
\left( \begin{matrix}
 g_{00} & g_{01} & g_{02} & g_{03} \\
 g_{10} & g_{11} & g_{12} & g_{13} \\
 g_{20} & g_{21} & g_{22} & g_{23} \\
 g_{30} & g_{31} & g_{32} & g_{33} \\
\end{matrix} \right)  \left( \begin{matrix} A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{matrix} \right)

La particolare forma (diagonale) del tensore metrico in relatività ristretta fornisce una facile regola per esprimere le componenti controvarianti di un quadrivettore in funzione di quelle covarianti, ovvero:

A_{\mu}=g_{\mu \nu} A^{\nu}= g_{\mu \mu} A^{\mu} con  g_{\mu \mu} = \left\{ \begin{matrix} -1 & \mbox{se} \,\,\, \mu=0 \\
                                                                               1 & \mbox{se} \, \mu=1,2,3 \end{matrix} \right.

oppure, in forma matriciale:

\left( \begin{matrix} A_0 \\ A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{matrix} \right) =
\left( \begin{matrix}
 -1 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \right)  \left( \begin{matrix} A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{matrix} \right)=
\left( \begin{matrix} -A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{matrix} \right)

Nel passare dalla forma controvariante di un vettore alla sua forma covariante basta quindi cambiare di segno la componente temporale. Un quadrivettore covariante non trasforma secondo le trasformazioni di Lorentz, bensì come la derivata di uno scalare: se \mathbf s è un invariante per trasformazioni di Lorentz, {A}_{\mu} ha le stesse leggi di trasformazione di  \frac{ds}{d{x}^{i}}.

Prodotto scalare[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Prodotto scalare.

Il prodotto scalare fra quadrivettori può essere scritto tramite il tensore metrico in forma semplificata come prodotto scalare euclideo fra un vettore covariante e uno controvariante:

 \langle \mathbf U , \mathbf V \rangle =\sum_{\mu=0}^3 \sum_{\nu=0}^{3}{g}_{\mu \nu} {U}^{\mu} {V}^{\nu}={U}^{\mu}{g}_{\mu \nu}{V}^{\nu}={U}^{\mu}{V}_{\mu}=\sum_{\mu=0}^{3}{U}^{\mu}{V}_{\mu}.

In modo equivalente, usando la notazione di Einstein:


\mathbf{U \cdot V}
= g_{\mu \nu} U^{\mu} V^{\nu}
= \left( \begin{matrix}U^0 & U^1 & U^2 & U^3 \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix}V^0 \\ V^1 \\ V^2 \\ V^3 \end{matrix} \right)
=  U^0 V^0 - U^1 V^1 - U^2 V^2 - U^3 V^3

Il prodotto scalare così definito è invariante sotto cambio di coordinate, e può essere scritto come:

\mathbf{U \cdot V} = U^*(\mathbf{V}) = U{_\nu}V^{\nu}

Norma[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Norma (matematica).

Nello spazio di Minkowski la norma quadratica di un quadrivettore è definita come:[6]

\left|\mathbf A \right|^2 =-{{A}^{0}}^{2}+{{A}^{1}}^{2}+{{A}^{2}}^{2}+{{A}^{3}}^{2}

Il modulo di un quadrivettore è per definizione invariante per trasformazioni di Lorentz, cioè è uno scalare.

Genere del quadrivettore[modifica | modifica sorgente]

Dato un quadrivettore x^{\mu} = (ct, x^1, x^2, x^3)\;, il suo modulo lorentziano è definito da:

|x|^2=g_{\mu \nu}x^{\mu}x^{\nu}

con la convenzione di Einstein sulla somma degli indici ripetuti, e dove la matrice g_{\mu\nu} è definita da:

 g_{\mu \nu} = \begin{cases}
1 &\mbox{se } \mu = \nu = 0; \\
-1  &\mbox{se } \mu = \nu = 1, 2, 3; \\
0  &\mbox{altrimenti.}
\end{cases}

Diversamente dal caso euclideo, pertanto, si possono distinguere tre tipi diversi di vettori:

  • Un quadrivettore è detto quadrivettore space-like o di tipo spazio se \mathbf |x|^2<0.
  • Un quadrivettore è detto quadrivettore time-like o di tipo tempo se \mathbf |x|^2>0.
  • Un quadrivettore è detto nullo, isotropo o di genere luce se \mathbf|x|^2=0.

Il genere è invariante rispetto alle trasformazioni di Lorentz.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Supposti in moto relativo rettilineo e uniforme.
  2. ^ Jean-Bernard Zuber & Claude Itzykson, Quantum Field Theory, pg 5 , ISBN 0-07-032071-3
  3. ^ Charles W. Misner, Kip S. Thorne & John A. Wheeler,Gravitation, pg 51, ISBN 0-7167-0344-0
  4. ^ George Sterman, An Introduction to Quantum Field Theory, pg 4 , ISBN 0-521-31132-2
  5. ^ Possono essere usati indici latini o greci; esistono due convenzioni opposte secondo cui l'indice greco assume i valori 0,1,2,3 e quello latino solo i valori "spaziali" 1,2,3, oppure viceversa.
  6. ^ Qui si usa per la metrica la convenzione dei segni (-,+,+,+).

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999. ISBN 047130932X.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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