Spazio l2

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Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando lo spazio delle funzioni o successioni a p-esima potenza sommabile, vedi Spazio Lp.

In matematica, lo spazio è lo spazio delle successioni quadrato sommabili a valori reali o complessi. Si tratta dello spazio lp nel caso in cui p = 2.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Lo spazio è lo spazio delle successioni reali quadrato sommabili, ovvero:

A seconda del contesto, si può considerare come lo spazio delle successioni complesse quadrato sommabili. In tal caso, posto la definizione è analoga. Lo spazio è uno spazio vettoriale reale, ed è anche uno spazio vettoriale complesso se lo pensiamo come uno spazio di successioni complesse. In entrambi i casi, è uno spazio metrico se definiamo la distanza come

Di più, è uno spazio di Banach, la cui norma associata è

La dimostrazione si effettua utilizzando la disuguaglianza di Minkowski. Avendo definito tale norma, possiamo ridefinire come

La norma poc'anzi introdotta è quella associata al prodotto scalare

Tale prodotto scalare si estende, nel caso complesso, al prodotto interno

Pertanto, è uno spazio di Hilbert. Inoltre, è uno spazio separabile, ovvero ammette un sottoinsieme numerabile denso.

Completezza[modifica | modifica wikitesto]

Lo spazio , sia nel caso reale che in quello complesso, è uno spazio metrico completo, cioè ogni successione di Cauchy è convergente.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Nella notazione utilizzata nel seguito, l'apice indica un elemento della successione di vettori infinito-dimensionali, mentre il pedice indica una componente di un singolo vettore.

Sia una successione di Cauchy in . Per mostrare che questa successione è convergente, è sufficiente mostrare l'esistenza di un'estratta convergente. Infatti se è una sottosuccessione convergente a , allora per ogni esiste un tale che per ogni

Procediamo quindi usando la definizione di successione di Cauchy per costruire una sottosuccessione , con , tale che

Osserviamo che

e che se allora al limite si ottiene una serie assolutamente convergente, in quanto grazie al calcolo di una serie geometrica vale la stima

Ne consegue che, per ogni , puntualmente esiste finito il limite

con nel caso reale e nel caso complesso. Questo perché sia che sono spazi completi, e quindi ogni serie assolutamente convergente è convergente.[1]

Per concludere, basta quindi dimostrare che converge in norma a

Da questo ne seguirà anche che , poiché se allora

Calcoliamo quindi, tramite il prodotto di Cauchy

Andando a sommare termine a termine, scambiando le sommatorie e applicando la disuguaglianza di Schwarz otteniamo che

Pertanto, ricaviamo che

da cui la tesi, in quanto il termine di destra tende a se .

Base hilbertiana[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo ora la successione , con

Equivalentemente, attraverso la delta di Kronecker, possiamo definire tale successione in maniera più compatta con la scrittura

Notiamo che la successione appena introdotta è un insieme ortonormale, in quanto

La successione appena definita costituisce una base hilbertiana, detto anche un sistema ortonormale completo, per , in quanto ogni elemento si scrive nella forma

Tale serie è da considerarsi come il limite in norma della successione delle somme parziali. Inoltre, per l'identità di Parseval,

I coefficienti , reali o complessi a seconda dei casi, sono univocamente determinati in quanto

Tali coefficienti sono detti i coefficienti di Fourier. I coefficienti di Fourier si possono caratterizzare tramite il seguente problema. Se è lo spazio generato dal vettore , allora i sottospazi sono chiusi in quanto finito-dimensionali. I coefficienti di Fourier sono quei coefficienti tali che il vettore verifichi l'equazione

Infatti, considerando nel caso reale, posto allora

Andando a derivare rispetto la variabile si verifica che si raggiunge il valore minimo per . I coefficienti di Fourier costituiscono la soluzione del problema appena esposto anche nel caso complesso. Questo problema è un esempio di un genere di problemi tipici dell'analisi funzionale, ovvero i problemi di minimo. Infatti, in un contesto più generale, l'esistenza della soluzione del problema mostrato è il soggetto del teorema della proiezione.

Tornando a parlare di basi, vogliamo precisare che la "base" di cui abbiamo prima discusso non genera in senso algebrico, ovvero tramite combinazioni lineari finite, bensì in senso analitico, ovvero tramite una convergenza in norma. Formalmente, diremo quindi che non si tratta di una base di Hamel, che è il tipo di base considerata usualmente negli spazi vettoriali di dimensione finita, bensì di una base di Schauder.

Le basi hilbertiane sono utili non solo perché consentono di scrivere più agevolmente gli elementi di uno spazio di Hilbert, ma anche perché permettono di definire facilmente delle isometrie tra spazi di Hilbert. In particolare, si verifica che due spazi di Hilbert sono unitariamente equivalenti se e solo se hanno due basi hilbertiane con stessa cardinalità.

Separabilità[modifica | modifica wikitesto]

Poiché ammette una base hilbertiana numerabile , allora si verifica facilmente che

è un insieme numerabile denso in . Nota la numerabilità di , allora è numerabile perché in biezione con un prodotto numerabile di insiemi numerabili. Sia quindi un elemento di . Dalla densità di in segue che

Pertanto, definito , allora per l'identità di Parseval e per la nota serie geometrica

e quindi

La dimostrazione nel caso complesso, a meno di considerare e in , è uguale.

Osserviamo che se al posto di consideriamo un generico spazio di Hilbert con una base hilbertiana numerabile, allora la dimostrazione è la stessa. Abbiamo quindi visto che uno spazio di Hilbert con una base hilbertiana numerabile è separabile. Attraverso il procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, si dimostra anche che uno spazio di Hilbert separabile ammette una base hilbertiana numerabile. Pertanto, a meno di isomorfismi unitari, è l'unico spazio di Hilbert separabile di dimensione infinita[2]. Questo fatto giustifica l'espressione "lo spazio di Hilbert", in quanto gli spazi di Hilbert separabili sono quelli principalmente considerati in matematica e maggiormente usati nelle applicazioni, come ad esempio in meccanica quantistica. L'importanza di consiste quindi nel fornire un modello particolarmente semplice dello spazio di Hilbert.

Il teorema di Riesz-Fischer[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Riesz-Fischer.

Il teorema di Riesz-Fischer asserisce, nella sua forma più generale, che in uno spazio di Hilbert ogni successione in definisce un elemento . Formalmente, diciamo che se è un sistema ortonormale (non necessariamente completo) di e è una successione in , allora

è un elemento . Il teorema è una forma più forte della disuguaglianza di Bessel. Tale disuguaglianza afferma che se è uno spazio di Hilbert, è un sistema ortonormale e ha coefficienti di Fourier , allora

Il teorema di Riesz-Fischer, così come la disuguaglianza di Bessel e l'identità di Parseval, spesso viene formulato in contesti meno astratti, ma fornendo comunque un enunciato equivalente a quello generale. Tali enunciati sono motivati sia da eventuali interessi applicativi, sia da ragioni filologiche. Infatti, parafrasando con un linguaggio matematico moderno, nelle sue Note del 1907 Riesz scrive:

Siano un sistema ortonormale e una successione di reali. La convergenza della serie è una condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza di una funzione tale che
per ogni .

Le Note di Riesz apparirono a Marzo. A Maggio, Fischer dimostrò che ogni successione di Cauchy in è convergente in . Nel teorema da lui enunciato, che qui riportiamo, le successioni di Cauchy vengono chiamate "successioni convergenti in media", la convergenza rispetto la norma di viene detta "convergenza in media verso una funzione" e viene indicato con .

Teorema. Se una successione di funzioni appartenenti a converge in media, esiste in una funzione verso la quale la successione converge in media.

Fischer prova quindi il risultato di Riesz usando la completezza di . La dimostrazione di Riesz, invece, non utilizza direttamente la completezza.

Spazi lp[modifica | modifica wikitesto]

Si può definire lo spazio lp (o ), con , come lo spazio infinito-dimensionale delle successioni reali (o complesse) a p-esima potenza sommabili, cioè

Lo spazio è uno spazio di Banach per ogni , con norma

Se , però, tale spazio non è uno spazio di Hilbert, cioè non esiste prodotto scalare che induca tale norma.

Per si definisce la norma uniforme

a cui corrisponde lo spazio

Si può dimostrare che se per qualche , allora

Si può dunque parlare di spazi per .

Inclusioni tra spazi [modifica | modifica wikitesto]

Si può provare che al crescere di cresce anche lo spazio . Formalmente, diciamo che se per qualche , allora per ogni . Questo implica che, data una successione , allora

è un intervallo, che se non vuoto allora è illimitato a destra e contenente . La dimostrazione è semplice e istruttiva. Sia un elemento di , con in quanto altrimenti la tesi è banale. Per ogni

e quindi calcolando l'estremo superiore si ottiene che

ovvero che che . Sia ora . Prima di procedere, ricordiamo al lettore che se allora per ogni mentre per ogni . Proveremo che

per dedurre la tesi come prima. Tale disuguaglianza è sicuramente vera se . Proviamo quindi la tesi per tutti gli tali che . Questa ipotesi non è restrittiva in quanto se è non nullo allora per quanto visto prima , e in quanto se è vero che

allora la disuguaglianza cercata si ottiene per la positiva omogeneità delle norme e . Con questa ipotesi di uniforme limitatezza si ha che per ogni , e quindi

per ogni , da cui la disuguaglianza

A questo punto il gioco è fatto, in quanto poiché e allora

Unendo le ultime due disuguaglianze si ha la tesi, e la dimostrazione è conclusa.

Mostriamo un esempio che conferma la veridicità del teorema. La successione

non appartiene ad , ma appartiene a per . Infatti tale successione è limitata, e la serie

diverge per (è la serie armonica) e converge per .

Le inclusioni tra gli spazi sono strette, ovvero per ogni . Per la prova è banale, in quanto basta considerare la successione costantemente uguale a . Altrimenti, basta osservare che la successione

sta in e non in .

Relazione con gli spazi Lp[modifica | modifica wikitesto]

Gli spazi sono un caso molto speciale di spazi Lp, dove lo spazio di misura associato è , con l'insieme dei numeri naturali, l'insieme delle parti di e la "misura del conteggio", ovvero la misura che conta il numero di elementi di un insieme (assegnando infinito a insiemi infiniti). Facciamo osservare che, poiché i punti hanno misura unitaria, allora ogni successione è l'unica rappresentante della propria classe modulo la relazione d'equivalenza quasi ovunque.

In maniera analoga a quella descritta, a partire da un qualunque insieme numerabile (ad esempio gli interi), si può definire come lo spazio delle successioni a potenza p sommabile. Pertanto, secondo la notazione finora usata, . Notare che , o più stringatamente , non è altro che lo spazio euclideo con la norma p.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Vale anche il viceversa, ovvero uno spazio normato è completo se ogni serie assolutamente convergente è convergente.
  2. ^ La dimensione hilbertiana di uno spazio di Hilbert è la cardinalità di una sua base hilbertiana. La dimensione hilbertiana non dipende dalla scelta della base.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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