Identità di Parseval

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In matematica, in particolare in analisi funzionale, l'identità di Parseval o identità di Bessel-Parseval è un importante risultato che riguarda la sommabilità della serie di Fourier di una funzione. Si tratta di un'uguaglianza che adatta il teorema di Pitagora a particolari spazi funzionali a dimensione infinita.

Informalmente, l'identità di Parseval stabilisce che la somma dei quadrati dei coefficienti di Fourier di una funzione è pari all'integrale del quadrato della funzione:

dove i coefficienti di Fourier di sono dati da:

Più in generale, il risultato vale anche se è una funzione quadrato sommabile o appartenente allo spazio L2[−π,π].

Un risultato simile è il teorema di Plancherel, che afferma che l'integrale del quadrato della trasformata di Fourier di una funzione è uguale all'integrale del quadrato della funzione stessa. In una dimensione, per si ha dunque:

L'identità[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri uno spazio normato separabile , ad esempio uno spazio di Hilbert, e sia un sistema ortonormale rispetto al prodotto interno definito in . L'identità di Parseval afferma che per ogni :

dove il prodotto interno definisce l'n-esimo coefficiente di Fourier di rispetto alla base .

Se è una base soltanto ortogonale:

L'identità è una generalizzazione del teorema di Pitagora, il quale stabilisce che la somma dei quadrati delle componenti di un vettore in una base ortonormale è pari al quadrato della lunghezza del vettore stesso.

Se coincide con e , dove , si ritrova il caso della serie di Fourier mostrato sopra con che è detto sistema trigonometrico. In particolare, la validità dell'identità di Parseval per un determinato garantisce la convergenza della rispettiva serie di Fourier a nella norma di , e la validità dell'identità per tutti gli garantisce che sia un sistema ortonormale completo. Se è uno spazio di Hilbert cioè comporta data una base ortogonale l'identità di Parseval valga per ogni elemento dello spazio.

L'identità di Parseval e la mutua ortogonalità dei sottospazi generati dai vettori implicano anche che:

cioè che ogni elemento è la somma della sua serie di Fourier. Il teorema di Parseval per le serie di Fourier ne è un caso particolare.

Spazi prehilbertiani[modifica | modifica wikitesto]

L'identità di Parseval nella sua veste più generale considera vettori (funzioni) in uno spazio prehilbertiano . Se è un insieme ortonormale di , detto totale nel senso che lo span lineare di è denso in , allora:

Nel caso in cui non sia totale l'uguaglianza è sostituita dalla disuguaglianza e quindi la conclusione coincide con quella della disuguaglianza di Bessel. La dimostrazione di questa versione generale fa uso del teorema di Riesz-Fischer.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) E. Hewitt, K.R. Stromberg, Real and abstract analysis , Springer (1965)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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