Teorema della proiezione

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, il teorema della proiezione o teorema della proiezione in spazi di Hilbert è un risultato dell'analisi convessa, utilizzato spesso in analisi funzionale, che stabilisce che per ogni punto in uno spazio di Hilbert e per ogni insieme convesso chiuso esiste un unico tale per cui la distanza assume il valore minimo su . In particolare, questo è vero per ogni sottospazio chiuso di : in tal caso una condizione necessaria e sufficiente per è che il vettore sia ortogonale a .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Per mostrare l'esistenza di , sia la distanza tra e , sia una successione in tale per cui la distanza al quadrato tra e è minore o uguale a . Se e sono due interi allora:

e:

Si ha quindi:

Considerando il limite superiore ai primi due termini dell'uguaglianza, e notando che i termini della successione tra e appartengono a (e quindi hanno una distanza da maggiore o uguale a ), si ottiene:

L'ultima disuguaglianza mostra in particolare che è una successione di Cauchy. Essendo completo, la successione converge in un punto la cui distanza da è minima.

Per mostrare l'unicità di , siano e due punti che minimizzano la distanza. Si ha:

Dato che appartiene a si ha:

e quindi:

Pertanto , che prova l'unicità.

Per mostrare l'equivalenza della condizione su nel caso in cui è un sottospazio chiuso, sia tale che per tutti gli . La condizione è sufficiente in quanto:

che prova il fatto che è un "minimizzatore". La condizione è anche necessaria, come si vede ponendo un "minimizzatore". Sia e . Allora:

è sempre non negativa. Quindi, .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0070542341.
  • (EN) Luenberger, D. G. Optimization by Vector Space Methods. New York: Wiley, 1997.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica