Teorema di Riesz-Fischer

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In matematica, in particolare in analisi reale, il teorema di Riesz–Fischer stabilisce che in uno spazio completo ogni successione a quadrato sommabile definisce una funzione quadrato sommabile. In particolare, il teorema determina le condizioni per cui gli elementi di una successione in sono i coefficienti di Fourier di un qualche vettore di . Dal teorema segue inoltre che una funzione è a quadrato integrabile se e solo se la serie dei coefficienti di Fourier converge nello spazio .

A causa dell'importanza del fatto che sia un insieme completo, a volte con "teorema di Riesz–Fischer" si denota il teorema che ne stabilisce la completezza stessa.[1]

Il teorema è stato scoperto indipendentemente dal matematico ungherese Frigyes Riesz e dal matematico austriaco Ernst Fischer nel 1907, ed è una forma più forte della disuguaglianza di Bessel. Si può adoperare per dimostrare l'identità di Parseval per le serie di Fourier.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Sia un sistema ortonormale di polinomi in uno spazio di Hilbert e sia una successione. Allora esiste un unico vettore tale che gli elementi della successione siano i coefficienti di Fourier di :[2]

dove è un prodotto interno. La successione definisce quindi una funzione in .

In modo equivalente, dato , l'appartenenza di all'insieme delle successioni a quadrato sommabili comporta l'esistenza di una funzione tale che:

per ogni .

Conseguenze[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema implica che se l'N-esima somma parziale della serie di Fourier corrispondente a una funzione è data da:

dove è l'n-esimo coefficiente di Fourier:[3]

allora:

dove:

è la norma-

Viceversa, se è una successione bilatera di numeri complessi, ossia il suo indice spazia da a , tale che:

allora esiste una funzione a quadrato integrabile tale che i valori sono i coefficienti di Fourier di .

Completezza di Lp[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: spazio Lp.

La dimostrazione che lo spazio è completo si basa sui teoremi che caratterizzano la convergenza delle serie di funzioni integrabili secondo Lebesgue. Quando la disuguaglianza di Minkowski implica che è uno spazio normato. Per provare che è completo, cioè che è uno spazio di Banach, è sufficiente provare che ogni serie di funzioni in , con che può essere la misura di Lebesgue, tale che:

converge nella norma di a qualche funzione . Per , la disuguaglianza di Minkowski e il teorema della convergenza monotona implicano che:

e quindi:

è definita quasi ovunque rispetto a e appartiene a . Il teorema della convergenza dominata è allora sfruttato per mostrare che la somma parziale della serie converge a nella norma di :

Il caso richiede alcune modifiche a causa del fatto che la p-norma non è più subadditiva. Si comincia con l'assunzione che:

e si usa ripetutamente il fatto che:

Il caso si riduce a una semplice questione riguardante la convergenza uniforme al di fuori di un insieme di misura nulla rispetto alla misura .

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Reed, Simon, Pag. 18
  2. ^ W. Rudin, Pag. 85
  3. ^ W. Rudin, Pag. 92

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
  • (EN) Beals, Richard (2004). Analysis: An Introduction. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-60047-2.
  • (EN) John Horváth. On the Riesz-Fischer theorem (PDF).

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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