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PROVO A USARE QUESTO SPAZIO PER CREARE UNA PAGINA "Calcolatrici meccaniche"

Calcolatrice meccanica Facit c1-13 del 1962

Una calcolatrice meccanica è uno strumento di calcolo meccanico che permette di eseguire dei calcoli matematici -più o meno semplici- grazie a meccanismi azionati a mano o da un motore elettrico fornendo come risultato un numero esatto. Tali meccanismi possono variare A seconda del tipo Le operazioni vengono eseguite grazie a degli ingranaggi o delle cremagliere che permettono di sommare due numeri, riportando anche l'importo. , nell'accezione moderna, comprende strumenti che permettono di eseguire da una (addizione) a quattro (addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione) operazioni in modo automatico,

Nelle macchine meccaniche addizionatrici più semplici la sottrazione, quando possibile, viene effettuata sommando il complemento del sottraendo (per es. per sottrarre 17 si somma 9999999983). Nelle addizionatrici più complesse la sottrazione viene eseguita direttamente, ad es. girando una manovella nel verso opposto a quello usato per addizionare. Nelle calcolatrici che permettono le quattro operazioni la moltiplicazione viene normalmente eseguita tramite addizioni ripetute, la divisione tramite sottrazioni ripetute. Vennero anche realizzate macchine, come la Friden SRW, in grado di calcolare automaticamente le radici quadrate implementando un algoritmo appropriato (algoritmo di Newton).

Nel corso degli anni vengono realizzati e venduti vari tipi di calcolatrici meccaniche. Solitamente, nelle macchine più recenti, i dati vengono inseriti tramite una tastiera ed il risultato viene stampato su di un nastro di carta. In altri tipi di macchina i dati vengono inseriti girando dei dischi numerati o spostando delle levette ed il risultato appare in un visualizzatore meccanico.

L'abaco ed il regolo calcolatore non possono venir considerati dei calcolatori meccanici. L'abaco non tiene conto del riporto, che va aggiunto dall'operatore, ed il regolo è uno strumento che funziona in modo grafico.

Sviluppo del calcolo meccanico

Disegno di un calcolatore meccanico

Il più antico strumento noto di calcolo meccanico è il macchina di Anticitera, usato per il calcolo del moto dei pianeti nel II-I secolo a.C.. Presumibilmente fu opera di studiosi della scuola alessandrina. Anche se conteneva quasi tutti gli elementi tecnici necessari per realizzare una calcolatrice, non ebbe alcuna influenza sugli sviluppi successivi a causa della difficoltà di realizzazione con la tecnologia dell'epoca.

Nel XVII secolo la tecnologia meccanica sviluppata per la realizzazione dei primi orologi permette di costrire le prime calcolatrici meccaniche.

Nel 1623 Wilhelm Schickard costruisce la prima macchina meccanica per le addizioni. Sfortunatamente l'unico esemplare prodotto va distrutto in un incendio e Schickard muore poco dopo. La sua esistenza è stata scoperta solo ultimamente, tramite la descrizione contenuta nella corrispondenza tra Schickard e Keplero.

Nel 1642 Blaise Pascal, all'oscuro della macchina di Schickard, reinventa la macchina per le addizioni e le sottrazioni. Della sua macchina, che viene detta Pascalina, vengono prodotti e venduti una cinquantina di esemplari, alcuni dei quali ancora esistenti.

Nel 1673 Leibniz presenta alla Royal Society di Londra il primo calcolatore meccanico in grado di eseguire anche moltiplicazioni e divisioni. Al momento della presentazione il calcolatore non è ancora terminato, ma il progetto gli permette di venir ammesso all'unanimità alla Royal Society. La calcolatrice, che si basa su di un nuovo meccanismo detto ruota di Leibniz, viene completata solo nel 1694. A causa della precisione necessaria nella sua costruzione, la produzione commerciale di questo apparecchio non è però fattibile fin verso la metà del XIX secolo. (La ruota di Leibniz, in forma modificata, viene ancora usata nel 1948 da Curt Herzstark per la costruzione della Curta, una calcolatrice meccanica tascabile.)

Nel 1822 Charles Babbage presenta il modello di una macchina differenziale, che non realizzerà completamente, in grado di tabellizzare automaticamente una funzione polinomiale qualunque. Questa macchina dovrebbe essere azionata da un motore a vapore. Inizia inoltre il progetto per una macchina analitica programmabile. La macchina differenziale verrà realizzata nel 1991 al Science Museum di Londra seguendo i progetti originali.

Tra il 1940 ed il 1960 vengono prodotti e venduti dei piccoli calcolatori meccanici tascabili per addizioni e sottrazioni. I dati vengono introdotti e sommati (o sottratti) muovendo con una penna delle cremagliere. Il risultato appare in un visualizzatore meccanico. Il modello più conosciuto è l'Addiator della ditta Arithma.

Nel 1948 Curt Herzstark inizia la produzione della Curta, una calcolatrice meccanica tascabile.

Nel 1956 Natale Capellaro progetta, in Olivetti, la macchina da calcolo elettrica Tetractys, dotata di due totalizzatori e memoria, dalla quale, sulle stesse linee di montaggio, verranno anche prodotte due versioni meno performanti denominate "Divisumma" ed "Elettrosumma". Con la matricola incisa a pantografo sul basamento in ghisa, queste tre macchine rimasero in produzione per oltre 15 anni ed esportate nel Regno Unito, negli Stati Uniti ed in Canada. Le versioni destinate ai paesi con rete elettrica a 115 volt, differivano nel motore elettrico (70 watt) e nel passo (più stretto) della vite senza fine, ricavata nel prolungamento dell'asse motore che azionava l'ingranaggio principale frizionato, realizzato in tela bachelizzata. Alcune versioni di questa classe di macchine da calcolo definita MC24, disponevano di un carrello tabulatore simile a quello di una macchina da scrivere; i cinematismi interamente in metallo, erano azionati da camme a profili multipli sinterizzate, la lubrificazione a vita, comprendeva quatro tipi diversi di lubrificante posti nei punti di maggior attrito.

Bibliografia

• Martin Davis, Il Calcolatore Universale, Adelphi
• Carl B. Boyer, Storia della matematica, Oscar Mondadori

DA TRADURRE

INTEGRAFO

Integraph per Abakanowicz design, 1915 catalog drawing

Coradi of Zurich's integraph, 1911 drawing

An Integraph is a mechanical analog computing device for plotting the integral of a graphically defined function.

History

Gaspard-Gustave de Coriolis first described the fundamental principal of a mechanical integraph in 1836 in the Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. A full description of an integraph was published independently around 1880 by both British physicist Sir Charles Vernon Boys and Bruno Abdank-Abakanowicz, a Polish-Lithuanian mathematician/electrical engineer. Boys described a design for an integraph in 1881 in the Philosophical Magazine. Abakanowicz developed a practical working prototype in 1878, with improved versions of the prototype being manufactured by firms such as Coradi in Zürich, Switzerland. Customized and further improved versions of Abakanowicz's design were manufactured until well after 1900, with these later modifications being made by Abakanowicz in collaboration M. D. Napoli, the "principal inspector of the railroad Chemin de Fer de l’Est and head of its testing laboratory".

Description

The input to the integraph is a tracing point that is the guiding point that traces the differential curve. The output is defined by the path a disk that rolls along the paper without slipping. The mechanism sets the angle of the output disk based on the position of the input curve: if the input is zero, the disk is angled to roll straight, parallel to the x axis on the Cartesian plane. If the input is above zero the disk is angled slightly toward the positive y direction, such that the y value of its position increases as it rolls in that direction. If the input is below zero, the disk is angled the other way such that its y position decreases as it rolls.

The hardware consists of a rectangular carriage which moves left to right on rollers. Two sides of the carriage run parallel to the x axis. The other two sides are parallel to the y axis. Along the trailing vertical (y axis) rail slides a smaller carriage holding a tracing point. Along the leading vertical rail slides a second smaller carriage to which is affixed a small, sharp disc, which rests and rolls (but does not slide) on the graphing paper. The trailing carriage is connected both with a point in the center of the carriage and the disc on the leading rail by a system of sliding crossheads and wires, such that the tracing point must follow the disc's tangential path.

Mechanism

The integraph plots (traces) the integral curve

$Y=F(x)=\int f(x)dx,$

when we are given the differential curve,

$y=f(x).$

The mathematical basis of the mechanism depends on the following considerations: For any point Template:Math of the differential curve, construct the auxiliary triangle with vertices Template:Math and Template:Math. The hypotenuse of this right triangle intersects the Template:Math-axis making an angle the value of whose tangent is Template:Math. This hypotenuse is parallel to the tangent line of the integral curve at Template:Math that corresponds to Template:Math.

The integraph may be used to obtain a quadrature of the circle. If the differential curve is the unit circle, the integral curve intersects the lines Template:Math at points that are equally spaced at a distance of Template:Pi/2.

See also

• Mathematical instrument
• Planimeter

References

• Granville, William. Elements of Differential and Integral Calculus, New Edition. Ginn and Company. NY, NY, 1934
• Bruno Abdank-Abakanowicz, Les intégraphes, la courbe intégrale et ses applications: étude sur un nouveau système d'intégrateurs mécaniques.

Gauthier-Villars, 1886 available at Google Books

Food risk assessment nomogram

Although nomograms represent mathematical relationships, not all are mathematically derived. The following one was developed from the graphical end to achieve appropriate end results that could readily be defined by the product of their relationships in subjective units rather than numerically. The use of non-parallel axes enabled the non-linear relationships to be incorporated in the model.

The numbers in square boxes denote the axes requiring input after appropriate assessment.

The pair of nomograms at the top of the image determine the probability of occurrence, and the availability, which are then incorporated in the bottom multistage nomogram.

Lines 8 and 10 are ‘tie lines’ for the transition between the stages of the nomogram.

The final pair of parallel logarithmic scales (12) are not nomograms as such, but reading-off scales to translate the risk score (11, remote to extremely high) into a sampling frequency to address safety aspects and other ‘consumer protection’ aspects respectively. This stage requires political ‘buy in’ balancing cost against risk. The example uses a 3 year minimum frequency for each, though with the high risk end of the scales different for the two aspects, giving different frequencies for the two, but both subject to an overall minimum sampling of every food for all aspects at least once every three years.

This risk assessment nomogram was developed by the UK Public Analyst Service with funding from the UK Food Standards Agency for use as a tool to guide the appropriate frequency of sampling & analysis of food for official food control purposes, intended to be used to assess all potential problems with all foods, although not yet adopted.

Marchant (calcolatrici)

La Marchant Calculating Machine Co. fu fondata nel 1911 da Rodney e Alfred Marchant a Oakland,California.

La società inizialmente costruiva calcolatrici meccaniche famose per l'affidabilità, basate sui principi costruttivi dalle Odhner. Nel 1918 un giovane dipendente, Carl Friden, cedette alla Marchant il brevetto di una macchina che aveva progettato. Fu un enorme succeso e Friden divenne il capo dell'ufficio progetti fino al 1934, quando si dimise per fondare una propria ditta. Nel 1958 la società venne acquistata dalla Smith Corona, produttrice di macchine per scrivere, in un tentativo di diversificazione dei prodotti. La nuova società, chiamata SCM, incontrò subito delle difficoltà. Nel 1965 cercò di tornare competitiva lanciando il SCM Cogito 240SR [1], un calcolatore elettronico progettato da Stan Frankel, ex-ricercatore del Progetto Manhattan. Però, nel giro di pochi anni, un'ondata di nuovi calcolatori elettronici sempre più economici la pose completamente fuori mercato. A metà degli anni '80, i sempre meno costosi personal computer, che iniziavano ad essere usati come word processor, spazzarono via anche le macchine da scrivere SCM.

Caratteristiche tecniche

Come già ricordato, le primissime Marchant si basavano sulla ruota a denti mobili introdotta da W.T. Odhner. Meccanismo che era già stato ampiamente imitato e migliorato in Europa da molte case produttrici, dopo la scadenza del brevetto originale. Tra queste la francese Dactyle, ai cui modelli sono chiaramente ispirate le prime Marchant(1911), quando non si tratta della semplice rietichettatura di macchine importate.

A queste seguirono i modelli ideati da Friden e basati sul nuovo meccanismo detto adapting segment, costruttivamente più semplice. In sintesi, alla ruota di Odhner viene sostituito un settore dentato ampio circa 60° e un settore liscio. A seconda della posizione reciproca dei due settori varia da zero a nove il numero di denti sporgenti, quindi attivi e in grado di far avanzare la corrispondente cifra del totalizzatore. Brevetto su Google

Le calcolatrici Marchant più famose e più interessanti dal punto di vista tecnico furono quelle della serie Silent Speed. Il loro progetto, dopo che Friden abbandonò l'azienda, venne portato avanti da Harold Avery. Erano di gran lunga le macchine più veloci dell'epoca, funzionando a 1.300 cicli al minuto. Il loro funzionamento era assolutamente innovativo, gli ingranaggi che fornivano il risultato (somme, sottrazioni o prodotti) si muovevano con velocità proporzionale alla cifra inserita nella corrispondente colonna della tastiera. Premendo un tasto '1', la velocità degli ingranaggi era minima, premendo un '9' diventava massima. Una delle altre pochissime calcolatrici con questa caratteristica era la tedesca Mercedes Euklid, che però aveva una struttura molto diversa e più semplice.

Il riporto delle decine avveniva tramite un (effettivo) rapporto di trasmissione 10:1, e non con ingranaggi simili a quelli dei contatori elettrici. Si trattava di una caratteristica più unica che rara.

Mentre si eseguiva una successione di somme per ottenere il prodotto di una moltiplicazione, la maggior parte dei meccanismi si muovevano a velocità diverse ma costanti. In tutte le altre calcolatrici, si muovevano alla stessa velocità, ma per tempi diversi, tanto più lunghi quanto maggiore era la cifra da sommare. They started quickly, ran at one speed, and stopped quickly. (They also had mechanisms to prevent overshoot (known as coasting) when they stopped.)

In the Marchant, each column had its own mechanism that might be described as a nine-speed pre-selector transmission. Once engaged, that was what made the dials move at speeds proportional to the digit in that column. This meant that the machine contained a large number of gears.

Carries from lower-order digits came in via one planetary differential per dial. If one held down the + bar, in neighboring columns to the left (with zeros for them in the keyboard), one could see two or maybe three higher-order dials moving at the speeds one would expect.

Watthour meter dials, like the hour hand of a clock, make no attempt to point to the correct digit, if the dial to the right is between, for example, 3 and 7, or so. Such misalignment would be intolerable in a calculator's dials, so each of the Marchant's dials had a constant-lead ("snail") cam attached. Omitting important details, this cam determined the amount of movement needed to realign the result dials. That correction was applied by a second spur-gear differential, again, one per dial. Some calculators that had been serviced had dials that were mispositioned by (probably) 3.6 degrees; the gears weren't quite meshed correctly when reassembled.

Queste calcolatrici erano molto complesse, soprattutto se paragonate con le Friden STW, macchine caratterizzate da una relativa semplicità costruttiva. Gran parte dei meccanismi di controlllo delle Marchant erano sotto la parte destra della tastiera, dove in pochi centimetri si addensavano 25 "strati" di leve, trasmissioni, meccanismi a scatto, e così via. C'erano anche tre giunti cardanici, che attraversavano tutto il meccanism0o La maggiorv parte delle altre calcolatrici ne aveva uno solo.

Tutte le altre calcolatrici meccaniche in grado di eseguire in modo completamente automatico le divisioni (ne esistevano parecchie), sottraevano ripetutamente il divisore, finché l'accumulatore diventava negativo (una sottrazione di troppo). A questo punto, per sistemare le cose, si addizionava una volta il divisore. Le Marchant, invece, disponevano di una serie di comparatori analogici che prevenivano il problema.

Il meccanismo interno delle Marchant differisce quindi profondamente in molti aspetti da quello delle macchine della concorrenza. Grazie alla sua alta sofisticazione (e complessità), ottenne un considerevole vantaggio tecnologico sulle macchine della concorrenza in termini di velocità, affidabilità e ridotta rumorosità.

Insieme di Smith-Volterra-Cantor

Rimovendo gli intervalli neri, i punti bianchi costituiscono un insieme di misura 1/2, che non è mai denso.

In matematica, l'insieme di Smith-Volterra-Cantor (SVC), detto anche insieme grasso di Cantor, è un esempio di sottinsieme della retta reale R che non è mai denso (in particolare non contiene intervalli), pur avendo misura positiva.

Costruzione

Come per l'insieme di Cantor, l'insieme di Smith-Volterra-Cantor viene costruito rimuovendo degli intervalli dall'intervallo unitario, ossia dall'intervallo chiuso [0, 1].

Il procedimento inizia togliendo un segmento lungo 1/4 dal centro dell'intervallo [0, 1] (in altre parole, eliminando due intervalli da 1/8 ai due lati del punto centrale 1/2) così che rimanga l'insieme

$\left[0,{\frac {3}{8}}\right]\cup \left[{\frac {5}{8}},1\right]$.

I passi successivi consistono nel rimuovere sottointervalli di ampiezza $1/2^{2n}$ dal centro di ogni rimanente intervallo di misura $2^{n-1}$. Quindi al secondo passo si tolgono gli intervalli (5/32, 7/32) e (25/32, 27/32), lasciando

$\left[0,{\frac {5}{32}}\right]\cup \left[{\frac {7}{32}},{\frac {3}{8}}\right]\cup \left[{\frac {5}{8}},{\frac {25}{32}}\right]\cup \left[{\frac {27}{32}},1\right]$.

Continuando queste rimozioni all'infinito, quello che rimane è l'insieme di Smith-Volterra-Cantor. L'immagine seguente mostra l'intervallo di partenza e le prime cinque iterazioni del procedimento:

Proprietà

• Per costruzione, l'insieme di Smith-Volterra-Cantor non contiene intervalli.
• Durante il procedimento costruttivo, degli intervallli di misura totale

$\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}(1/2^{2n+2})={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}\,$

sono stati rimossi da quello unitario, quindi l'insieme dei punti restanti ha misura 1/2.

• L'insieme SVC è un esempio di insieme compatto che non è misurabile secondo Jordan.
• La funzione indicatrice dell'insieme SVC è un esempio di funzione limitata che non è integrabile secondo Riemann in (0,1) e inoltre non coincide quasi ovunque con nessuna funzione integrabile secondo Riemann, cfr. Integrale di Riemann.

Altri insiemi grassi di Cantor

In generale, si può pensare di rimuovere un diverso sottinsieme r_n dai sotto-intervalli superstiti al passo n-imo dell'algoritmo e di ottenere alla fine un altro insieme tipo-Cantor. Questo sarà grasso, ossia avrà misura positiva, se e solo se la sommatoria della serie delle misure degli r_n è strettamente minore di 1, misura dell'intervallo di partenza.

Argomenti collegati

• L'insieme SVC è utilizzato nella costruzione della funzione di Volterra (cfr. collegamento esterno).

External links

• Wrestling with the Fundamental Theorem of Calculus: Volterra's function, talk by David Marius Bressoud

Enunciato

Supponiamo che u e v siano le soluzioni di due equazioni differenziali omogenee lineari del secondo ordine, scritte in forma autoaggiunta:

$(p_{1}(x)u')'+q_{1}(x)u=0\,$

e

$(p_{2}(x)v')'+q_{2}(x)v=0.\,$

Allora, per ogni x tale che v(x) ≠ 0, vale la seguente identità

$\left({\frac {u}{v}}(p_{1}u'v-p_{2}uv')\right)'=\left(q_{2}-q_{1}\right)u^{2}+\left(p_{1}-p_{2}\right)u'^{2}+p_{2}\left(u'-v'{\frac {u}{v}}\right)^{2}.$

See also

• Teorema del confronto di Sturm-Picone

References

• Mauro Picone, Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un’equazione differenziale lineare del secondo ordine, in Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, vol. 11, 1910, pp. 1–141.

External links

• SCM Marchant Cogito 240SR calculator
• Stanley Frankel, (EN) US3518629, United States Patent and Trademark Office, Stati Uniti d'America. Recirculating Memory Timing, filed February, 1964, issued June, 1970
• Marchant Figurematic calculator Detailed technical description, with numerous photographs, by an engineer
• History of Marchant at the History Museum at St.Gertrude in Cottonwood, Idaho

Voci correlate

• Macchina di Anticitera
• Charles Babbage e la sua macchina differenziale
• Vannevar Bush e il suo Memex
• Troncet e Addiator, piccoli calcolatori tascabili a cursori
• La Curta di Curt Herzstark

Collegamenti esterni

A carattere generale

• Collezioni della fondazione Galileo Galilei - Pisa
• Associazione italiana collezionisti macchine da scrivere, calcolo e ufficio
• Sito che presenta diversi tipi di strumenti di calcolo
• (DE) Sito Wiki dedicato alle calcolatrici meccaniche
• (DE) Ampia galleria di immagini
• (EN) Science Museum of London

Dedicati a macchine o produzioni specifiche

• Tecnologic@mente - Fondazione Capellaro (Olivetti)
• Fondazione Adriano Olivetti
• (FR) [Aritmometro di Thomas de Colmar]
• (DE) Addiator e altri calcolatori tascabili a cursori
• (EN) Calcolatrici russe
• (EN) Friden
• (EN) Comptometer
• (EN) Facit