Teorema del confronto di Sturm-Picone

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In matematica, nel campo delle equazioni differenziali ordinarie, il teorema del confronto di Sturm–Picone, che prende nome da Jacques Sturm e Mauro Picone, è un noto teorema che permette di ricavare informazioni sul comportamento delle soluzioni di equazioni differenziali lineari confrontandole con le soluzioni di equazioni simili.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Siano p_1, p_2, q_1 e q_2 funzioni continue a valori reali definite nell'intervallo [a,b], e siano:

(p_1(x) y^\prime)^\prime + q_1(x) y = 0
(p_2(x) y^\prime)^\prime + q_2(x) y = 0

due equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine, scritte in forma autoaggiunta con:

0 < p_2(x) \le p_1(x) \qquad q_1(x) \le q_2(x)

Sia u una soluzione non-banale della prima equazione avente due radici successive in z_1 e z_2. Sia, inoltre, v una soluzione non-banale della seconda. Allora vale una delle seguenti proprietà:

  • Esiste x \in [z_1,z_2] tale che v(x)=0
  • Esiste \lambda \in \R tale che v(x)=\lambda u(x).

La prima parte della tesi venne dimostrata da Sturm, nel 1836[1]. L'enunciato completo è dovuto a Picone (1910)[2][3], la cui semplice dimostrazione si basa sull'utilizzo dell'identità di Picone. Nel caso particolare in cui le due equazioni siano identiche si ottiene il teorema di separazione di Sturm. Il teorema è stato poi esteso a sistemi di equazioni ordinarie e a equazioni differenziali alle derivate parziali di tipo ellittico.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ C. Sturm, Mémoire sur les équations différentielles linéaires du second ordre, J. Math. Pures Appl. 1 (1836), 106–186
  2. ^ M. Picone, Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un'equazione differenziale lineare ordinaria del second'ordine, Ann. Scuola Norm. Pisa 11 (1909), 1–141.
  3. ^ DOI: 10.1007/3-7643-7359-8_1

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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