Teorema del confronto di Sturm-Picone

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In matematica, nel campo delle equazioni differenziali ordinarie, il Teorema del confronto di Sturm–Picone, che prende nome da Jacques Sturm e Mauro Picone, è un noto teorema che permette di ricavare informazioni sul comportamento delle soluzioni di certe equazioni differenziali lineari confrontandole con le soluzioni di equazioni simili.

Teorema del confronto di Sturm–Picone[modifica | modifica sorgente]

Sia p_i,\, q_i, i = 1, 2, una funzione continua a valori reali, definita nell'intervallo [ab] e siano

  1. (p_1(x) y^\prime)^\prime + q_1(x) y = 0
  2. (p_2(x) y^\prime)^\prime + q_2(x) y = 0

due equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine, scritte in forma autoaggiunta con

0 < p_2(x) \le p_1(x)

e

q_1(x) \le q_2(x).

Sia u una soluzione non-banale di (1) con due radici successive in z1 e z2. sia, inoltre, v una soluzione non-banale di (2). Allora vale una delle seguenti proprietà:.

  • Esiste una x in [z1z2] tale che v(x) = 0;
o
  • Esiste un λ in R tale che v(x) = λ u(x).

NOTA: La prima parte della tesi venne dimostrata da Sturm, nel 1836[1]. L'enunciato completo è dovuto a Picone (1910)[2][3], la cui semplice dimostrazione si basa sull'utilizzo dell'Identità di Picone. Nel caso particolare in cui le due equazioni siano identiche si ottiene il Teorema di separazione di Sturm. Il teorema è stato poi esteso a sistemi di equazioni ordinarie e a equazioni differenziali alle derivate parziali di tipo ellittico.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ C. Sturm, Mémoire sur les équations différentielles linéaires du second ordre, J. Math. Pures Appl. 1 (1836), 106–186
  2. ^ M. Picone, Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un'equazione differenziale lineare ordinaria del second'ordine, Ann. Scuola Norm. Pisa 11 (1909), 1–141.
  3. ^ DOI: 10.1007/3-7643-7359-8_1


Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

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