Teorema dei lavori virtuali

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Il teorema dei lavori virtuali afferma che il lavoro meccanico "fittizio" svolto dalle forze esterne su un solido continuo deformato è uguale a quello svolto dalle forze interne; i termini fittizio e virtuale indicano che il teorema è valido per lavori calcolati per un dato sistema qualsiasi di forze esterne (forze di superficie f e di volume V) equilibrato con le tensioni unitarie (στ), e per un qualsiasi campo di spostamenti (uvw) congruente con le deformazioni unitarie (εγ) ma non necessariamente conseguente al sistema di forze esterne applicate. Il teorema dei lavori virtuali può essere esteso a sistemi discreti di corpi (internamente continui) tra loro vincolati.

Spostamenti rigidi[modifica | modifica sorgente]

Si consideri una struttura in equilibrio. Su ogni punto agirà la risultante dei carichi esterni (Ni), delle forze di coesione (Ci) e delle reazioni vincolari (Ri) tali che \vec N_i + \vec C_i + \vec R_i = 0.

Imponiamo ora uno spostamento tale da non costituire una deformazione dei corpi della struttura. Nell' i-esimo punto si avrà che il lavoro virtuale delle forze sul generico punto è nullo: \vec N_i \vec \delta_i + \vec C_i \vec \delta_i  + \vec R_i \vec \delta_i  = 0 (ovvero L_e + L_c + L_r = 0).

Poiché lo spostamento è di tipo rigido non si hanno movimenti relativi tra i punti; per il principio di azione e reazione le forze di coesione sono uguali e contrarie tra loro e di conseguenza anche il loro lavoro; implica che la somma è nulla: Lc = 0.

Se si accetta il postulato di Fourier (i vincoli bilaterali non compiono lavoro a meno di attrito) anche le reazioni vincolari non compiono lavoro: Lr = 0.

L'equazione si riduce a L_e = 0 ovvero che il lavoro compiuto da un sistema di forze equilibrato in uno spostamento rigido è nullo.

Spostamenti con deformazione del materiale[modifica | modifica sorgente]

Tension-sigma-tau-xy-section.png
Epsilon-deformation.png
Gamma-deformation.png

Si consideri il caso in cui il campo di spostamenti comporta la deformazione del corpo; si ha che il lavoro delle forze di coesione non può essere nullo. Considerando sempre il postulato di Fourier, si ha ora che

\vec N_i \vec \delta_i + \vec C_i \vec \delta_i  + \vec R_i \vec \delta_i  = 0

ovvero

L_e = L_i.

Per dimostrare ciò, si considerino le tensioni agenti nel piano xy del parallelepipedo generico dxdydz del solido di Cauchy giacente nello spazio cartesiano R3 e le relative 3 componenti di deformazione assiale e angolare, in figura a lato.

Si può quindi determinare il lavoro interno compiuto dalle forze (tensioni moltiplicate per l'area in cui agiscono) negli spostamenti dovuti alle 6 componenti di deformazione (εx, εy, εz, γxz, γyz, γxy). Essendo nell'ambito della cinematica linearizzata, ovvero considerando una teoria del primo ordine per cui si considerano spostamenti infinitesimi e angoli approssimati alla loro tangente, verranno trascurati gli infinitesimi del quarto ordine ovvero tutti i termini contenenti o dx2 o dy2 o dz2 (dV = dxdydz).

  • εx: L(\varepsilon_x) = \sigma_x \varepsilon_x dV
  • εy: L(\varepsilon_y) = \sigma_y \varepsilon_y dV
  • γxy: L(\gamma_{xy}) = \tau_{xy} \gamma_{xy} dV

Le εz,γxz e γyz fanno compiere un lavoro trascurabile alle tensioni su xy e valgono le stesse identiche considerazioni fatte per le εx,εy e γxy. Si deduce che per ogni faccia il lavoro è dato dalla componente della tensione per la componente della deformazione associata.

L'espressione del lavoro interno è quindi:

L_i = \iiint_v (\sigma_x \varepsilon_x + \sigma_y \varepsilon_y + \sigma_z \varepsilon_z + \tau_{xy} \gamma_{xy} + \tau_{xz} \gamma_{xz} + \tau_{yz} \gamma_{yz}) dV

Esprimiamo ora il lavoro esterno:

L_e = \iint_S (f_x \ u + f_y \ v + f_z \ w) dS + \iiint_V (X \ u + Y \ v + Z \ w) dV

con:

  • u,v,w: campo di spostamenti
  • fx,fy,fz: componenti della risultante delle forze di superficie
  • X,Y,Z: componenti della risultante delle forze di volume

Si devono applicare le equazioni di equilibrio, di bilancio e di congruenza del solido continuo considerando che l,m,n sono i coseni direttori della normale al piano tangente alla superficie del solido e ricordando la reciprocità delle tensioni tangenziali e delle relative distorsioni angolari:

  • Equilibrio:

\left\{\begin{matrix}
\frac{\partial \sigma_x}{\partial_x} +  \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial_y} + \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial_z} + X = 0\\ 
\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial_x} + \frac{\partial \sigma_y}{\partial_y} +  \frac{\partial \tau_{zy}}{\partial_z} + Y = 0\\
\frac{\partial \tau_{xz}}{\partial_x} +  \frac{\partial \tau_{zy}}{\partial_y} + \frac{\partial \sigma_z}{\partial_z}  + Z = 0\\
\end{matrix}\right.
  • Bilancio:

\left\{\begin{matrix}
f_x = \sigma_x \ l + \tau_{yx} \ m + \tau_{zx} \ n\\ 
f_y = \tau_{xy} \ l + \sigma_y \ m + \tau_{zy} \ n\\
f_z = \tau_{xz} \ l + \tau_{yz} \ m + \sigma_{z} \ n\\
\end{matrix}\right.
  • Congruenza:

\left\{\begin{matrix}
\frac{\partial u}{\partial x} = \varepsilon_x \\ 
\frac{\partial v}{\partial y} = \varepsilon_y \\
\frac{\partial w}{\partial z} = \varepsilon_z \\
\frac{\partial u}{\partial y} +  \frac{\partial v}{\partial x}= \gamma_{xy} \\ 
\frac{\partial u}{\partial z} +  \frac{\partial w}{\partial x}= \gamma_{xz} \\ 
\frac{\partial v}{\partial z} +  \frac{\partial w}{\partial y}= \gamma_{zy} \\ 
\end{matrix}\right.

Si consideri ora il primo termine dell'espressione del lavoro esterno e si sostituiscano le espressioni precedentemente scritte:

L_e,S = \iint_S [(\sigma_x \ l + \tau_{xy} \ m + \tau_{zx} \ n) \ u + (\tau_{xy} \ l + \sigma_y \ m + \tau_{zy} \ n) \ v + (\tau_{xz} \ l + \tau_{yz} \ m + \sigma_{z} \ n) \ w] dS.

Si trasformi ora questo integrale di superficie in un integrale di volume tramite il teorema della divergenza (\oint_{[S]} \vec F \cdot \vec N \ ds = \iiint_{D} div \vec F \  dx dy dz) raggruppando le funzioni "tensione per spostamento" e i coseni direttori e sommando poi anche la seconda parte dell'espressione del lavoro esterno:

L_e,S = \iint_S ( [(\sigma_x \ u)+ (\tau_{xy} \ v) + (\tau_{zx} \ w)] \ l + [(\tau_{xy} \ u) + (\sigma_y \ v) + (\tau_{yz} \ w)] \ m + [(\tau_{xz} \ u)+ (\tau_{yz} \ v) + (\sigma_z \ w) ] \ n) dS.
L_e = \iiint_V \left[ \frac{\partial (\sigma_x \ u)}{\partial x} + \frac{\partial (\tau_{xy} \ u)}{\partial y} +  \frac{\partial (\tau_{xz} \ u)}{\partial z} +
\frac{\partial (\tau_{xy} \ v)}{\partial x} + \frac{\partial (\sigma_y \ v)}{\partial y} +  \frac{\partial (\tau_{zy} \ v)}{\partial z} + 
\frac{\partial (\tau_{xz} \ w)}{\partial x} + \frac{\partial (\tau_{yz} \ w)}{\partial y} +  \frac{\partial (\sigma_z \ w)}{\partial z} \right] dV +
\iiint_V (X \ u + Y \ v + Z \ w) dV.

Si riuniscano gli integrali e si raggruppino i termini:


L_e = \iiint_V \left[ \left( \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} +  \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial z} + X \right) \ u +
\left(\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} +  \frac{\partial \sigma_y}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial z} + Y \right) \ v + 
\left(\frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x} +  \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_z}{\partial z} + Z \right) \ w + 
\sigma_x \frac{\partial u}{\partial x} +  \sigma_y \frac{\partial v}{\partial y} + \sigma_z \frac{\partial w}{\partial z} + 
\tau_{xy} \left(\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x}\right) + \tau_{xz} \left(\frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x}\right) + \tau_{yz} \left(\frac{\partial w}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial z}\right) \right] dV
.


I primi tre polinomi tra parentesi sono nulli;


(\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} +  \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial z} + X) \ u ;

(\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} +  \frac{\partial \sigma_y}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial z} + Y) \ v ;
.

(\frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x} +  \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_z}{\partial z} + Z) \ w ;
.


in quanto coincidono con quelli delle equazioni di equilibrio. Sostituendo ai restanti termini le espressioni delle equazioni di congruenza si ottiene:

L_e = \iiint_v (\sigma_x \varepsilon_x + \sigma_y \varepsilon_y + \sigma_z \varepsilon_z + \tau_{xy} \gamma_{xy} + \tau_{xz} \gamma_{xz} + \tau_{yz} \gamma_{yz}) dV

ovvero l'espressione del lavoro esterno è identica a quella del lavoro interno, CVD.

Principio dei lavori virtuali[modifica | modifica sorgente]

Il teorema può esser utilizzato come principio, ovvero come punto di partenza tramite il quale definire equazioni di equilibrio o di congruenza della struttura. Ciò permette di applicare il PLV per determinare forze o soprattutto spostamenti incogniti utilizzando la tecnica della forza fittizia unitaria applicata nello stesso punto e verso dello spostamento δ cercato.

Dall'equazione infatti si ricava direttamente che 1 \cdot \delta = L_i.

Trave piana[modifica | modifica sorgente]

Per i sistemi di trave piana è possibile riscrivere facilmente l'espressione del lavoro interno in termini di deformazioni e sollecitazioni. Si consideri un sistema di riferimento cartesiano nel quale l'asse x coincida con l'asse della trave e quindi gli assi y e z definiscano il piano su cui giacciono le infinite sezioni.

Nel caso piano si ha lo sforzo assiale N al quale corrisponde la deformazione longitudinale ε, la flessione M alla quale corrisponde la curvatura dell'asse della trave χ e lo sforzo di taglio al quale corrisponde una distorsione media della sezione γ. Utilizzando le soluzioni della trave di De Saint Venant si ha:

\sigma_y = \frac{N}{A} + \frac{M}{I} y e \tau_{yz} = \frac{T}{q A}

dove q è il fattore di taglio, che indica la quota parte di area della sezione reagente a taglio.

Si sostituiscano le relazioni nell'espressione del lavoro interno considerando sempre il caso piano:

L_i = \iiint_V \left[ \left( \frac{N}{A} + \frac{M}{I} y \right) \ \varepsilon + \left( \frac{T}{q A} \right) \ \gamma_{yz} \right] dV

L'espressione è scomponibile in un integrale di superficie sulla sezione della trave e in un integrale di linea lungo l'asse della trave:

L_i = \int_l \left[ \iint_A \frac{N}{A} \varepsilon dA + \iint_A \frac{M}{I} y \varepsilon dA + \iint_A \frac{T}{q A} \gamma_{yz} dA \right] dl

ε e χ sono legate dalla relazione \varepsilon = \chi y; I è il momento di inerzia della sezione ed è per definizione

I = \int_A y^2 dA;

N,M,T,A,Χ,q,I sono costanti nella sezione e per le travi la deformazione dovuta al taglio è trascurabile. Si ha quindi:

L_i = \int_l (N \varepsilon + M \chi) dl.

Applicazioni del principio[modifica | modifica sorgente]

Per le applicazioni più comuni è utile ragionare direttamente in termini di sollecitazioni.

Calcolo abbassamenti / rotazioni[modifica | modifica sorgente]

È possibile conoscere direttamente l'abbassamento della trave in un punto senza calcolare l'intera equazione della linea elastica. Si consideri ad esempio il caso elementare di trave appoggiata lunga L con carico uniformemente distribuito Q. Per il calcolo dell'abbassamento massimo in mezzeria applichiamo il principio:

1 \ \delta = \int_l M \chi \ dl con 1 (forza fittizia unitaria applicata in mezzeria e diretta verso il basso) equilibrato con M e δ (l'abbassamento incognito) congruente con χ. Essendo scomodo calcolare la curvatura si sfrutta il legame costitutivo per cui M = EI \chi dove E è il modulo di elasticità del materiale della trave e I il suo momento d'inerzia. Si ha quindi la nota espressione della formula approssimata dello spostamento:

\delta = \int_l M' \ \frac{M}{EI} \ dl con:

  • M' : equazione del momento dovuto alla sola forza applicata sulla trave
  • M : equazione del momento relativo allo schema reale e congruente di carico ripartito

Discorso analogo per il calcolo delle rotazioni di un punto della struttura (applicando in questo caso un momento unitario nel punto d'interesse).

Per le travi reticolari con aste di lunghezza l e area A si può calcolare direttamente:

\delta = \sum_i N'_i \left(\frac{N}{EA}_i \right) \ l_i.

PLV[modifica | modifica sorgente]

Strutture iperstatiche[modifica | modifica sorgente]

Per risolvere le strutture iperstatiche oltre alle equazioni di equilibrio della statica sono necessarie anche quelle di congruenza che impongono le deformazioni nei punti corrispondenti ai vincoli sovrabbondanti considerati. Si consideri ad esempio lo schema di mensola appoggiata con carico uniformemente ripartito (struttura 1 volta iperstatica) e si consideri l'appoggio come vincolo sovrabbondante. Per la risoluzione è necessario considerare lo schema statico equivalente di mensola appoggiata con carico uniformemente ripartito e forza X verso l'alto al posto del vincolo tale da imporre che l'abbassamento in quel punto sia nullo. Ciò equivale a considerare una forza unitaria applicata nel vincolo diretta verso il basso scalata proprio di X. Si ha quindi l'espressione:

\delta = \int_l M' \ \frac{M_0 + XM'}{EI} \ dl = 0

(con M0 equazione del momento dovuta alla sola presenza del carico) dalla quale si può ricavare l'incognita X e risolvere quindi la struttura.

Cedimenti vincolari imposti[modifica | modifica sorgente]

Nelle strutture isostatiche i cedimenti vincolari δ, ovvero variazioni di posizione permanente del vincolo, vengono assorbiti tramite moti di corpo rigido (rotazione o traslazione). Nelle strutture iperstatiche la soluzione tramite PLV è semplicemente data dalla relazione precedente ora eguagliata a δ (valore noto). In assenza di carichi si ha V = \int_l \frac{X \ M'^2}{EI} dl = \delta ovvero la sollecitazione che subisce la struttura dipende dalla sua rigidezza flessionale : V = δ EI.

Variazioni termiche[modifica | modifica sorgente]

Una trave soggetta ad una variazione termica lineare tra il suo estradosso e intradosso subisce delle deformazioni lungo la sezione così definite:

  • deformazione longitudinale: \varepsilon_m^T = \alpha T_m
  • curvatura asse della trave: \chi^T = \frac{\alpha \Delta T}{h}

con

Nelle strutture isostatiche la deformazione è libera mentre in quelle iperstatiche è bloccata da vincoli pertanto nasceranno delle sollecitazioni interne.

Poiché si conosce direttamente il termine cinematico della deformazione per le soluzioni delle travi non è necessario calcolarsi l' M0 dovuto all'azione termica ma si considera direttamente εmT e ΧT rispetto all'applicazione della forza unitaria nel punto di vincolo sovrabbondante (\chi^T = \frac{M_0}{EI}) e (\varepsilon_m^T = \frac{N_0 \ L}{EA}).

Nel caso ad esempio della precedente mensola appoggiata ora sottoposta a semplice variazione termica si impone nell'appoggio lo spostamento nullo, ovvero: \delta = \int_l M' \chi^T +  \frac{XM'^2}{EI} \ dl = 0

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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