Teoria del primo ordine

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Nella logica matematica una teoria del primo ordine è un particolare sistema formale, cioè una teoria formale in cui è possibile esprimere enunciati e dedurre le loro conseguenze logiche in modo del tutto formale e meccanico.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Gli elementi che definiscono una teoria del primo ordine sono:

Esempi di teorie del primo ordine sono l'aritmetica di Peano, l'aritmetica di Robinson, la teoria degli insiemi di Zermelo - Fraenkel.

Dimostrazioni formali[modifica | modifica wikitesto]

Una dimostrazione di una formula \varphi in una teoria del primo ordine T è una sequenza ordinata di formule

(\varphi_1,\varphi_2,...,\varphi_n)

tale che

  • \varphi_n=\varphi
  • ogni formula \varphi_i o è un assioma di T o è deducibile da una o più formule ad essa precedenti mediante una regola di inferenza.

Una formula che ha una dimostrazione formale in T si dice dimostrabile o derivabile. Se la formula \varphi è dimostrabile in T si usa la notazione

\vdash_T \varphi

o semplicemente

\vdash \varphi

se la teoria di riferimento è evidente dal contesto.

Proprietà sintattiche[modifica | modifica wikitesto]

Una teoria del primo ordine T si dice:

  • sintatticamente completa se per ogni formula \varphi si ha
\vdash_T \varphi oppure \vdash_T \neg \varphi
  • sintatticamente consistente (coerente) se non esiste nessuna formula \varphi per cui si ha
\vdash_T \varphi e contemporaneamente \vdash_T \neg \varphi

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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