Coerenza (logica matematica)

In logica matematica, una teoria formale si dice coerente (o non contraddittoria, talvolta anche consistente, per assonanza con l'inglese consistent) se in essa è impossibile dimostrare una contraddizione.

Tuttavia, ad un livello più avanzato, si intende, secondo l'uso che ne fa anche Kurt Gödel, per consistenza la completezza degli assiomi, ovvero la possibilità che un dato insieme di assiomi possa escludere qualsivoglia contraddizione a priori, e per coerenza la non contraddizione dei teoremi sviluppati a partire da un dato insieme di assiomi rispetto ad essi. Kurt Gödel, in risposta a quanti come David Hilbert a cavallo fra Ottocento e Novecento avevano lanciato l'idea di un sistema matematico in grado di provare da solo la propria consistenza e coerenza, una cui applicazione sarebbe stata una macchina produttrice di teoremi, dimostra nei suoi teoremi di incompletezza come non esista alcun sistema logico completamente consistente e coerente, e che quindi la logica, anzi le logiche, siano intrinsecamente innumerevoli, quindi costruibili (come i software) esclusivamente dalle menti pensanti (quali gli esseri umani) in grado innanzitutto di notarne le inevitabili contraddizioni e anche stabilire di volta in volta insiemi diversi di assiomi.

A priori si distiguono due livelli di consistenza:

• consistenza sintattica se nella teoria non si possono dimostrare contemporaneamente una formula ben formata e la sua negazione;
• consistenza semantica se la teoria ammette almeno un modello.

Si dimostra che per una teoria del primo ordine ciascuno dei due tipi di consistenza implica l'altro. Dimostrare una delle due implicazioni è semplice mentre dimostrare che una teoria sintatticamente consistente ammette sempre un modello non banale e richiede l'utilizzo dell'assioma della scelta per famiglie numerabili di insiemi.

L'esempio più semplice di teoria del primo ordine non consistente è dato dalla teoria che ha un unico simbolo predicativo p e come unico assioma:

$\exists x (p(x)\land \neg p(x))$

Voci correlate

• Principio di non contraddizione
• Consequentia mirabilis
• Dimostrazione per assurdo
• Logica proposizionale
• Teoria del primo ordine
• Completezza
• Correttezza

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