Spazio delle successioni

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, in particolare in analisi funzionale, lo spazio delle successioni è uno spazio funzionale formato da tutte le successioni reali o complesse. Si tratta dell'insieme delle funzioni definite sull'insieme dei numeri naturali \N a valori in \R o \mathbb{C}.

Definendo una somma, detta puntuale:

(x_n)_{n=1}^\infty + (y_n)_{n=1}^\infty:=(x_n+y_n)_{n=1}^\infty

e un prodotto per scalari:

\lambda (x_n)_{n=1}^\infty:=(\lambda x_n)_{n=1}^\infty

lo spazio delle successioni è uno spazio vettoriale.

Un caso importante di spazio di successioni è dato dagli spazi lp, solitamente denotati con \ell^p, cioè gli spazi delle successioni tali che:

\sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^p < \infty

Esso infatti risulta essere uno spazio di Banach per 1\leq p \leq \infty. Due sottocasi importanti del precedente sono lo spazio delle successioni limitate \ell^\infty e lo spazio delle successioni \ell^2, che è uno spazio di Hilbert.

Un sottospazio vettoriale di \ell^{\infty} è lo spazio c delle successioni convergenti, formato da tutti gli x \in K^N tali che \lim_{n \to \infty} x_n esiste. Si tratta di uno spazio chiuso rispetto alla norma \| \cdot \|_\infty, ed è pertanto uno spazio di Banach. Lo spazio c0 delle successioni convergenti a zero è un sottospazio chiuso di c, e dunque anch'esso uno spazio di Banach.

Spazi ℓp[modifica | modifica wikitesto]

Per 0 < p < \infty, \ell^p è il sottospazio di K^N formato dalle successioni x = (x_n) tali che:

\sum_n |x_n|^p < \infty

Se p \ge 1 allora l'operazione \|\cdot\|_p \to \R definita da:

\|x\|_p = \left(\sum_n|x_n|^p\right)^{1/p}

definisce una norma su \ell^p. Lo spazio \ell^p è uno spazio metrico completo rispetto a tale norma, e dunque è uno spazio di Banach.

Se 0 < p < 1 lo spazio \ell^p non è munito di una norma, ma è caratterizzato da una distanza:

d(x,y) = \sum_n |x_n-y_n|^p

Se p = \infty allora \ell^\infty è lo spazio di tutte le successioni limitate. Rispetto alla norma:

\|x\|_\infty = \sup_n |x_n|

è anche uno spazio di Banach.

Lo spazio ℓ2[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Spazio l2.

Si definisce spazio \ell^2 lo spazio delle successioni reali o complesse definito nel modo seguente:

\ell^2(\mathbb{R})=\left\{\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}, x_i\in\mathbb{R}\ \Bigg|\ \sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^2 < \infty\right\}

Lo spazio \ell^2 è uno spazio vettoriale. Inoltre è uno spazio metrico se definiamo la distanza come:

d(\vec x , \vec y ) = \left( \sum_{k=1}^{\infty} | x_k - y_k |^{2}\right)^{\frac{1}{2}}

La dimostrazione è fatta utilizzando la disuguaglianza di Minkowski e la disuguaglianza di Hölder. Inoltre è uno spazio che ammette sottoinsiemi numerabili densi e ciò ci dice che è anche separabile.

I sottospazi c e c0[modifica | modifica wikitesto]

Lo spazio c è lo spazio vettoriale formato da tutte le successioni convergenti (x_n) di numeri reali o complessi.

Definendo una norma uniforme:

\|x\|_\infty = \sup_n |x_n|

lo spazio c diventa uno spazio di Banach. Si tratta di un sottospazio vettoriale chiuso dello spazio delle successioni limitate \ell^\infty, e contiene a sua volta (come suo sottospazio chiuso) lo spazio di Banach c0 delle successioni che convergono a zero.

Lo spazio duale c* di c è isometricamente isomorfo a \ell^1, come lo è il duale c*0 di c0. In particolare, né cc0 sono riflessivi. L'isomorfismo di \ell^1 con c* è dato dal fatto che se (x_0, x_1, \dots) \in \ell^1 allora l'accoppiamento con un elemento (y_1, y_2, \dots) di c è dato da:

x_0\lim_{n\to\infty} y_n + \sum_{i=1}^\infty x_i y_i

Si tratta di una versione del teorema di rappresentazione di Riesz. Per c0 l'accoppiamento tra (x_i) \in \ell^1 e (y_i) in c0 è invece definito da:

\sum_{i=0}^\infty x_iy_i

Spazio delle serie limitate[modifica | modifica wikitesto]

Lo spazio delle serie limitate, denotato con bs, è lo spazio delle successioni x tali che:

\sup_n \left\vert \sum_{i=0}^n x_i \right\vert < \infty

Definendo la norma:

\|x\|_{bs} = \sup_n \left\vert \sum_{i=0}^n x_i \right\vert

lo spazio bs è uno spazio di Banach isometricamente isomorfo a \ell^\infty mediante la corrispondenza lineare:

(x_n)_{n\in \N} \mapsto \left(\sum_{i=0}^n x_i\right)_{n\in \N}

Il sottospazio cs è composto da tutte le serie convergenti. Lo spazio Φ o c00 è inoltre definito come lo spazio delle successioni infinite che possiedono un numero finito di termini non nulli (a supporto finito).

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Lo spazio delle successioni convergenti:
c=\{(x_n)_{n=1}^\infty : \exists M \mbox{ tale che } \lim_n |x_n-M|=0\}
  • Lo spazio delle successioni infinitesime c_0, un sottocaso del precedente che si ottiene con M=0.
  • Lo spazio \Phi delle funzioni a supporto finito (cioè non nulle solo per un numero finito di indici).
  • Lo spazio di Baire delle successioni di numeri naturali.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • H.R. Pitt, A note on bilinear forms in J. London Math. Soc., vol. 11, nº 3, 1936, pp. 174–180, DOI:10.1112/jlms/s1-11.3.174..
  • J. Schur, Über lineare Transformationen in der Theorie der unendlichen Reihen in Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 151, 1921, pp. 79–111..

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica