Spazio delle successioni

In analisi funzionale, una branca della matematica, lo spazio delle successioni è un tipo particolare di spazio funzionale.

Esso è formato da tutte le successioni reali o complesse (cioè dall'insieme delle funzioni definite sull'insieme dei numeri naturali $\N$ verso $\R$ o $\mathbb{C}$). Su di esso si può dare una struttura naturale di spazio vettoriale definendo una somma, detta puntuale,

$(x_n)_{n=1}^\infty + (y_n)_{n=1}^\infty:=(x_n+y_n)_{n=1}^\infty$

e un prodotto per scalari

$\lambda (x_n)_{n=1}^\infty:=(\lambda x_n)_{n=1}^\infty$

Esempi

• Un caso importante di spazio di successioni è dato dagli spazi $l^p$, cioè gli spazi delle successioni tali che $\sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^p < \infty$. Esso infatti risulta essere uno spazio di Banach per $1\leq p \leq \infty$
• Due sottocasi importanti del precedente sono lo spazio delle successioni limitate $l^\infty$ e lo spazio delle successioni $l^2$, che è uno spazio di Hilbert
• Lo spazio delle successioni convergenti

$c=\{(x_n)_{n=1}^\infty : \exists M \mbox{ tale che } \lim_n |x_n-M|=0\}$

• Lo spazio delle successioni infinitesime $c_0$ (sottocaso del precedente per $M=0$)
• Lo spazio $\Phi$ delle funzioni a supporto finito (cioè non nulle solo per un numero finito di indici)
• Lo spazio di Baire delle successioni di numeri naturali

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