Energia di Fermi

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In fisica, in particolare in meccanica quantistica, l'energia di Fermi è l'energia del più alto livello occupato in un sistema di fermioni alla temperatura dello zero assoluto. Il suo nome deriva dal fisico italiano Enrico Fermi.

Il termine "energia di Fermi" viene anche usato facendo riferimento al concetto di livello di Fermi, diffuso nella fisica dei semiconduttori.[1] L'energia di Fermi ed il potenziale elettrochimico coincidono allo zero assoluto,[2] ma differiscono a temperature maggiori.

Introduzione[modifica | modifica sorgente]

Contesto[modifica | modifica sorgente]

In meccanica quantistica, una classe di particelle indicate con il nome di fermioni (alla quale appartengono ad esempio, l'elettrone, il protone ed il neutrone) obbedisce al principio di esclusione di Pauli. Questo principio afferma che due particelle non possono occupare lo stesso stato quantico. Ogni stato di un sistema è caratterizzato dai valori dell'insieme dei numeri quantici caratteristici del sistema. In un sistema che contiene molti fermioni (come gli elettroni in un metallo), ciascun fermione ha un diverso insieme di valori dei numeri quantici.

Per calcolare l'energia minima di un sistema di fermionii, è quindi possibile raggruppare in insiemi gli stati che hanno la medesima energia, e ordinare poi questi insiemi in ordine di energia crescente. Partendo dal sistema vuoto (senza nessun fermione), possiamo dunque aggiungere via via un fermione dopo l'altro, occupando quindi in ordine tutti i livelli di energia più bassa salendo ogni volta. Quando tutte le particelle sono state così inserite, l'energia di Fermi coincide con l'energia dello stato quantico più alto occupato.

Ciò ha come conseguenza che, anche se portiamo un metallo allo zero assoluto, gli elettroni all'interno del metallo sono ancora in movimento: il più veloce di essi, infatti, si muoverà con una velocità tale che la sua energia cinetica corrisponda all'energia di Fermi. Tale velocità è chiamata velocità di Fermi.

I livelli di energia dei fermioni sono spesso quantizzati per via della forma dell'energia potenziale a cui sono sottoposti, per esempio un elettrone di valenza in un metallo vede grandi variazioni dell'energia potenziale che è negativa in prossimità dei nuclei e del proprio atomo e positiva in vicinanza di altri elettroni appartenenti ad atomi differenti. L'energia degli stati varia con continuità se è superiore al valore massimo dell'energia potenziale vista dal fermione considerato ed è quantizzata sotto tale valore e quindi assume valori discreti via via maggiori (negativi se il fermione è legato positivi se è libero) e sempre più addensati. L'energia di Fermi è l'ultima di tali livelli discreti appartenente al fermione libero nello stato occupato per ultimo. La presenza di altri fermioni della stessa specie vicini a quello considerato porta a un significativo aumento dei livelli d'energia quantizzata possibili tanto che se prima erano pochi, abbastanza ben definiti e ben separati diventano molti e vicini tra loro sebbene mantengano dei raggruppamenti divisi che per quersto comunemente si rappresentano per semplicità come bande continue come in figura.

Struttura elettronica a bande nel caso di metalli (a), isolanti (b) e semiconduttori (c). È indicata la posizione del livello di Fermi Ef.

L'energia di Fermi è uno dei concetti fondamentali della fisica della materia condensata: viene usato, per esempio, per descrivere metalli, isolanti e semiconduttori. È inoltre importante nella fisica dei superconduttori, in quella dei liquidi quantici superfluidi (come lo 3He a basse temperature), nella fisica nucleare e per comprendere la stabilità delle nane bianche nei confronti del collasso gravitazionale.

Approfondimenti sul contesto[modifica | modifica sorgente]

L'energia di Fermi EF di un sistema di fermioni non interagenti è pari all'aumento totale di energia dello stato di valenza quando le particelle vengono aggiunte sola una alla volta nel sistema. Parimenti, può essere vista come l'energia di un singolo fermione nell'ultimo livello almeno parzialmente occupato, cioè quello a energia massima. Il potenziale chimico allo zero assoluto coincide con l'energia di Fermi.

Il caso della buca di potenziale in una dimensione[modifica | modifica sorgente]

La buca di potenziale fornisce un modello per rappresentare una scatola unidimensionale: si tratta di un modello tipico della meccanica quantistica per il quale si conoscono le soluzioni relative al caso della particella singola. Indicando con n il numero quantico che distingue i livelli del sistema, l'energia è data da:

E_n = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2 m L^2} n^2 .

Supponiamo ora che invece di una sola particella, siano presenti nella buca N fermioni (di spin semi-intero). Per il principio di esclusione di Pauli solo due particelle potranno avere la medesima energia; pertanto, solo due particelle potranno avere l'energia:

E_1=\frac{\hbar^2 \pi^2}{2 m L^2}

altre due l'energia:

E_2=4 E_1 \

e così via. Si noti, infatti, che trattandosi di fermioni, sono possibili i due stati di spin +1/2 (spin su) e spin -1/2 (spin giù) e pertanto è possibile avere due particelle con la medesima energia che però, in ottemperanza al Principio di Pauli, non hanno tutti i numeri quantici identici.

Se ora consideriamo l'energia totale del sistema, è evidente che la situazione in cui l'energia totale è minima (cioè lo stato fondamentale) è quella in cui tutti i livelli fino al N/2-esimo sono occupati (e tutti quelli di energia maggiore vuoti). L'energia di Fermi di tale stato fondamentale è dunque:

E_f=E_{N/2}=\frac{\hbar^2 \pi^2}{2 m L^2} (N/2)^2 .

Il caso a 3 dimensioni[modifica | modifica sorgente]

Il caso tridimensionale isotropico è noto come sfera di fermi.

Si consideri una scatola tridimensionale cubica di lato L (si veda anche Buca di potenziale infinita), che si dimostra essere una ottima approssimazione per descrivere il comportamento degli elettroni in un metallo. Siano poi gli stati numerati da tre diversi numeri quantici nx, ny, and nz. Le energie della singola particella sono allora:

E_{n_x,n_y,n_z} = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2} \left( n_x^2 + n_y^2 + n_z^2\right)

dove nx, ny, nz sono interi positivi. Ci sono evidentemente una pluralità di stati con la stessa energia; ad esempio E_{1,0,0}=E_{0,1,0}=E_{0,0,1}

Supponiamo di introdurre ora N fermioni di spin 1/2, non interagenti, nella nostra scatola. Per calcolare l'energia di Fermi consideriamo il caso di N elevato. Se introduciamo il vettore:

\vec{n}=\{n_x,n_y,n_z\}

allora, ogni stato quantico corrisponderà, nello spazio n-dimensionale, ad un punto con energia:

E_{\vec{n}} = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2} |\vec{n}|^2

Il numero di stati con energia minore di Ef è pari al numero di stati all'interno della sfera di raggio |\vec{n}_f|, ovviamente considerando solo quella regione dello spazio n-dimensionale dove nx, ny, nz sono tutti positivi. Nello stato fondamentale questo numero è uguale al numero di fermioni presenti nel sistema.

N =2\times\frac{1}{8}\times\frac{4}{3} \pi n_f^3
I fermioni liberi che occupano lo stato di minor energia danno luogo ad una sfera nello spazio del momento. La superficie di questa sfera è detta superficie di Fermi.

dove il fattore 2 è, ancora una volta, dovuto al fatto che ci sono due diversi stati di spin, mentre il fattore 1/8 deriva dal fatto che solo un ottavo della sfera cade nella regione dove tutti gli n sono positivi. Si trova in questo modo:

n_f=\left(\frac{3 N}{\pi}\right)^{1/3}

cosicché l'energia di Fermi è data da:

E_f =\frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2} n_f^2
 = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2} \left( \frac{3 N}{\pi} \right)^{2/3}

Ne deriva la seguente relazione tra l'energia di Fermi e il numero di particelle per unità di volume (si noti che L2 è stato rimpiazzato da V2/3, essendo V il volume):

E_f = \frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{6 \pi^2 N}{g_s V} \right)^{2/3}

L'energia totale di un sfera di Fermi con N_0 fermioni è così data da:

E = {\int_0}^{N_0} E_f(N) dN = {3\over 5} N_0 E_f

Energie di Fermi tipiche[modifica | modifica sorgente]

Nane bianche[modifica | modifica sorgente]

Le stelle conosciute con il nome di nane bianche hanno massa comparabile con quella del nostro Sole, ma un raggio 100 volte minore. Le alte densità così raggiunte fanno sì che gli elettroni non siano più legati ai singoli nuclei, ma formino invece un gas elettronico degenerato. La densità elettronica in una nana bianca raggiunge l'ordine di 1036 elettroni/m3. Questo significa che l'energia di Fermi è:

E_f = \frac{\hbar^2}{2m_e} \left( \frac{3 \pi^2 (10^{36})}{1 \ \mathrm{m}^3} \right)^{2/3} \approx 3 \times 10^5 \ \mathrm{eV}

Nuclei[modifica | modifica sorgente]

Un altro tipico esempio relativo all'energia di Fermi è quello delle particelle presenti in un nucleo atomico. Il raggio del nucleo è approssimativamente

R = \left(1.25 \times 10^{-15} \mathrm{m} \right) \times A^{1/3}

dove A è il numero di nucleoni.

La densità di nucleoni in un nucleo è dunque:

n = \frac{A}{\begin{matrix} \frac{4}{3} \end{matrix} \pi R^3 } \approx 1.2 \times 10^{44} \ \mathrm{m}^{-3}

Poiché l'energia di Fermi si applica solo a fermioni tutti dello stesso tipo, è necessario dividere questa densità in due: ciò è possibile poiché la presenza di neutroni non influenza la densità di protoni e viceversa.

In questo modo l'energia di Fermi di un nucleo è:

E_f = \frac{\hbar^2}{2m_p} \left( \frac{3 \pi^2 (6 \times 10^{43})}{1 \ \mathrm{m}^3} \right)^{2/3} \approx 30 \times 10^6 \ \mathrm{eV} = 30 \ \mathrm{MeV}

Poiché il raggio del nucleo può variare intorno al valore sopra riportato, il valore tipico dell'energia di Fermi generalmente accettato è di 38 Mev.

Il livello di Fermi[modifica | modifica sorgente]

Il livello di Fermi è il livello occupato di maggior energia allo zero assoluto: in altri termini, tutti i livelli energetici fino al livello di Fermi sono occupati da elettroni.[2]

Poiché i fermioni non possono coesistere in stati energetici identici (si veda il principio di esclusione), allo zero assoluto gli elettroni sono catturati dal livello energetico più basso disponibile creando il "mare di Fermi" di stati energetici elettronici.[3] In queste condizioni, l'energia media di un elettrone è data da:

E_{av} = \frac{3}{5} E_f

dove  E_f è l'energia di Fermi.

Il momento di Fermi e la velocità di Fermi sono rispettivamente l'impulso e la velocità dei fermioni sulla superficie di Fermi, che si calcolano dall'energia con le usuali espressioni:

p_F = \sqrt{2 m_e E_f}       e       V_f = \sqrt{\frac{2 E_f}{m_e}}

dove  m_e è la massa dell'elettrone.

L'impulso di Fermi è normalmente utilizzato nel caso delle relazioni di dispersione tra l'energia e l'impulso che non dipendono dalla direzione. Nel caso più generale è invece necessario ricorrere direttamente all'energia di Fermi.[non chiaro]

Sotto la cosiddetta temperatura di Fermi le sostanze mettono in evidenza via via sempre più gli effetti quantistici del raffreddamento. Tale temperatura è definita da:

 T_f = \frac{E_f}{k}

dove k è la costante di Boltzmann.

Gas di elettroni liberi[modifica | modifica sorgente]

In un gas di elettroni liberi (le versione quantistica di un gas ideale di fermioni), gli stati quantistici possono essere distinti in base al loro impulso. Ciò è analogo a quanto avviene nei sistemi periodici, come nel caso degli elettroni all'interno della struttura cristallina di un metallo, introducendo il concetto di "quasi-momento" o "momento cristallino" (si veda Onda di Bloch). In entrambi i casi, gli stati corrispondenti all'energia di Fermi giacciono, nello spazio dell'impulso, su una superficie detta superficie di Fermi. Per il gas di elettroni liberi, la superficie di Fermi coincide con la superficie di una sfera mentre, per sistemi periodici, è solitamente una superficie più complessa (vedi Zone di Brillouin). Il volume racchiuso dalla superficie di Fermi definisce il numero di elettroni del sistema, mentre la topologia del volume è direttamente collegata alle proprietà di trasporto del metallo, come ad esempio la conduttività elettrica. Lo studio della superficie di Fermi è talora chiamata fermiologia. Le superfici di Fermi della maggior parte dei metalli sono state ampiamente studiate sia dal punto di vista teorico che sperimentale.

L'energia di Fermi di un gas di elettroni liberi è collegata al potenziale chimico dalla relazione

\mu = E_F \left[ 1- \frac{\pi ^2}{12} \left(\frac{kT}{E_F}\right) ^2 - \frac{\pi^4}{80} \left(\frac{kT}{E_F}\right)^4 + \cdots \right]

dove EF è l'energia di Fermi, k è la costante di Boltzmann eT è la temperatura. Di conseguenza, il potenziale chimico è (circa) uguale all'energia di Fermi a temperature molto minori della temperatura di Fermi EF/k. Valori tipici della temperatura di Fermi per i metalli sono dell'ordine di 105 K. Di conseguenza, alla temperatura ambiente (300 K) l'energia di Fermi ed il potenziale chimico sono sostanzialmente equivalenti. Questa equivalenza è importante anche perché il potenziale chimico (e non l'energia di Fermi) è utilizzato della statistica di Fermi-Dirac.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Si veda ad esempio: Electronics (fundamentals And Applications) diD. Chattopadhyay, Semiconductor Physics and Applications di Balkanski e Wallis.
  2. ^ a b Bube, op. cit., p. 92
  3. ^ [1] Fermi level su hyperphysics.phy-astr.gsu.edu

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Neil W. Ashcroft, N. David Mermin, Solid State Physics, Harcourt, Orlando (USA), 1976.
  • (EN) Giuseppe Grosso, Giuseppe Pastori Parravicini, Solid State Physics, Cambridge (UK).
  • (EN) Kroemer, Herbert; Kittel, Charles, Thermal Physics (2nd ed.), W. H. Freeman Company (1980), ISBN 0-7167-1088-9
  • (EN) Richard H. Bube, Electrons in solids: an introductory survey, 3ª ed., Academic Press, 1992, ISBN 0-12-138553-1.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]