Gas di Fermi

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In fisica, in particolare in meccanica statistica, un gas di Fermi è un gas di fermioni. La statistica di Fermi-Dirac permette di determinare la distribuzione dell'energia per un gas di fermioni all'equilibrio termico conoscendone la densità, la temperatura ed il set di stati energetici possibili.

Con questo modello possono essere in prima approssimazione descritti i nucleoni all'interno del nucleo atomico o gli elettroni di conduzione in un metallo.

La statistica di Fermi-Dirac[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Statistica di Fermi-Dirac.

Un gas di Fermi composto da particelle identiche segue la statistica di Fermi-Dirac, dalla quale si deduce che:

\overline{n_k} = \frac{1}{e^{(\varepsilon_k - \mu)/kT} + 1}

che rappresentano i valori medi dei numeri di occupazione per un gas di Fermi. Per un gas di Fermi tutti i numeri di occupazione sono \overline{n_k} \le 1. La normalizzazione impone:

N = \sum_k  \frac{1}{e^{(\varepsilon_k - \mu)/kT} + 1}

dove N è il numero totale di particelle del gas. Da questa possiamo determinare il potenziale chimico.

L'hamiltoniana di un gas di Fermi costituito da N fermioni di massa m racchiuso all'interno di una scatola cubica di lato L è:

H_0 = \sum_{i=1}^{N} \frac{p_i^2}{2m}

dove l'energia di singola particella è:

\varepsilon = \frac{p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}}{2m}

espressi in termini di autovalori, ovvero i valori di energia accessibili al sistema: \varepsilon_k = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}. Tenendo conto della degenerazione di spin g = 2s + 1 dove s è lo spin del fermione, il numero di particelle nell'elemento di volume dello spazio delle fasi è:

g d\tau = g\frac{dp_x dp_y dp_z dV}{(2 \pi \hbar)^3}

cioè si ha per la distribuzione di Fermi:

dN = \frac{g d\tau}{e^{(\varepsilon - \mu)/kT} + 1}

Più precisamente, integrando quest'ultima in dV si ottiene la distribuzione dell'impulso:

dN_p = \frac{g V p^2 dp}{2 \pi^2 \hbar^3 \left[e^{(\varepsilon - \mu)/kT} + 1 \right]}

e siccome \varepsilon = p^2 / 2 m, si deduce subito la distribuzione di energia:

dN_{\varepsilon} = \frac{g V m^{3/2}}{\sqrt{2} \pi^2 \hbar^3} \frac{\sqrt{\varepsilon} \, d\varepsilon}{e^{(\varepsilon - \mu)/kT} + 1}

Le ultime due espressioni rappresentano le distribuzioni di Maxwell nel caso di un gas di Fermi. Dalla seconda si ricava l'energia:

\int_{0}^{\infty} \varepsilon \, dN_{\varepsilon} = \frac{g V m^{3/2}}{\sqrt{2} \pi^2 \hbar^3} \int_{0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{3/2} \, d\varepsilon}{e^{(\varepsilon - \mu)/kT} + 1}

e il numero totale di particelle:

N = \frac{g V m^{3/2}}{\sqrt{2} \pi^2 \hbar^3} \int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{\varepsilon} \, d\varepsilon}{e^{(\varepsilon - \mu)/kT} + 1}

che fornisce anche il potenziale termodinamico:

\Omega = - \frac{V g T \sqrt{(m)^3}}{\sqrt{2} \pi^2 \hbar^3} \int_{0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{3/2} \, d\varepsilon}{e^{(\varepsilon -\mu) /kT} + 1}

Esso coincide con l'energia a meno di un fattore:

\Omega = - PV = \frac{2}{3} E

che è una relazione del tutto generale e vale per tutti i sistemi, sia di Bose, che di Fermi e di Boltzmann.

Gas di Fermi completamente degenere[modifica | modifica sorgente]

Supponiamo di avere un gas di fermioni di spin s = 1/2 (quindi g = 2s+1 = 2), ad esempio elettroni, a temperatura assoluta T = 0 K gli elettroni a tale temperatura cercano di porsi negli stati a energia minore in modo che il totale dell'energia sia il valore più basso possibile, partendo dallo stato a energia nulla, fino ad un certo valore.

Il numero di stati quantistici di un elettrone in un volume V con impulso compreso in (p,p+dp) è dato dalla prima delle distribuzioni di Maxwell:

2 \frac{4 \pi V p^2 \, dp}{(2 \pi \hbar)^3} = V \frac{p^2 \, dp}{\pi^2 \hbar^3}

Gli elettroni occupano tutti gli stati con impulso uguale a zero (notare che \varepsilon = p^2 / 2m) fino al valore p=p_F detto impulso di Fermi, che equivale nello spazio degli impulsi, al raggio di una sfera detta sfera di Fermi.

Il numero totale di elettroni in questi stati è dato da:

N = \frac{V}{\pi^2 \hbar^3} \int_{0}^{p_F} p^2 \, dp = \frac{V p_{F}^{3}}{3 \pi^2 \hbar^3}

da cui possiamo ricavare l'impulso di Fermi:

p_F = (3 \pi^2)^{1/3} \hbar \left(\frac{N}{V} \right)^{1/3}

e l'energia di Fermi:

\varepsilon_F = \frac{p_F^2}{2 m} = (3 \pi^2)^{2/3} \frac{\hbar^2}{2 m} \left(\frac{N}{V} \right)^{2/3}

Questo si può vedere anche dai numeri di occupazione medi: infatti al limite T \to 0:

\lim_{T \to 0} \overline{n_{\mathbf p}} = \lim_{T \to 0} \frac{1}{e^{(\varepsilon - \mu)/kT} + 1} = \left \{ \begin{matrix} 
1 & \varepsilon < \mu \\ 0 & \varepsilon > \mu \end{matrix} \right.

cioè i numeri di occupazione medi diventano una funzione a gradino facendoci pensare al fatto che per p<p_F oppure \varepsilon < \varepsilon_F gli elettroni si dispongono a partire dal livello \varepsilon =0 fino ai livelli p=p_F oppure \varepsilon = \varepsilon_F con la condizione che in un livello ci sia al massimo una particella secondo il principio di esclusione di Pauli. Dopo questi valori, per p > p_F non vi sono più elettroni da sistemare.

Da notare che:

\varepsilon_F = \mu \

L'energia totale del gas di Fermi completamente degenere si ottiene dall'integrazione:

E = \frac{V}{2 m \pi^2 \hbar^3} \int_{0}^{p_F} p^4 \, dp = \frac{V p_{F}^{5}}{10 m \pi^2 \hbar^3}

che, sostituendo l'espressione dell'impulso di Fermi e, nel successivo passaggio, quella dell'energia di Fermi, diventa:

E = \frac{3(3 \pi^2)^{2/3} \hbar^2}{10 m} \left(\frac{N}{V} \right)^{2/3} N = \frac{3}{5} {N \varepsilon_F}

Infine, usando la relazione generale del potenziale termodinamico, si ottiene:

P = \frac{(3 \pi^2)^{2/3} \hbar^2}{5 m} \left(\frac{N}{V} \right)^{5/3}

ovvero: la pressione è proporzionale alla densità secondo la potenza 5/3.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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