Effetto Zeeman

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L'effetto Zeeman è un fenomeno che consiste nella separazione delle linee spettrali a causa di un campo magnetico esterno. Si osserva che ciascuna riga si scinde in più righe molto vicine, a causa dell'interazione del campo magnetico con i momenti angolare e di spin degli elettroni. L'effetto Stark-Lo Surdo rappresenta l'analogo fenomeno in relazione alla presenza di un campo elettrico esterno. L'effetto Zeeman si rivela particolarmente importante in spettroscopia e in particolare per la EPR e la NMR.

Quando le linee spettrali sono rappresentate da linee di assorbimento, l'effetto viene chiamato effetto Zeeman inverso.

Il nome è dovuto al fisico olandese Pieter Zeeman, che per primo scoprì tale effetto nel 1896 ricevendo anche il premio Nobel per la fisica nel 1902.

[modifica] Introduzione

Nella maggior parte degli atomi, esistono diverse configurazioni elettroniche che possiedono la medesima energia, quindi le transizioni tra differenti coppie di configurazioni corrispondono a una singola linea spettrale.

La presenza di un campo magnetico esterno altera la degenerazione, interagendo in modo differente con gli elettroni in funzione dei differenti numeri quantici, modificando leggermente le loro energie. Il risultato è che da differenti configurazioni che possiedono la stessa energia si ottengono energie leggermente diverse, che producono linee spettrali molto ravvicinate.

Senza la presenza di un campo magnetico, le configurazioni a, b, e c possiedono la medesima energia, così come d, e ed f. La presenza di un campo magnetico provoca la separazione dei livelli energetici. Quella che prima era una singola linea legata alla transizione da a, b o c a d, e o f diverrà adesso un insieme di linee legate alla particolare transizione coinvolta. Ovviamente non tutte le transizioni sono permesse, in accordo con le regole di selezione.

Dato che la distanza tra i sottolivelli di Zeeman è proporzionale al campo magnetico, questo effetto è sfruttato dagli astronomi per misurare il campo magnetico del Sole o di altre stelle.

Esiste inoltre anche il cosiddetto effetto Zeeman anomalo legato a transizioni in cui lo spin netto degli elettroni è diverso da zero, il numero di sottolivelli di Zeeman sarà pari piuttosto che dispari se ci sarà un numero dispari di elettroni implicati. Questo fenomeno venne definito "anomalo" perché ai tempi in cui fu scoperto non si era ancora a conoscenza del concetto di spin elettronico, e quindi non fu possibile descriverlo in modo esauriente.

Se la forza del campo magnetico è troppo elevata, l'effetto non diviene più lineare; a campi di forza ancora più superiore, l'accoppiamento elettronico è disturbato e le linee spettrali subiscono un riarrangiamento. Questo fenomeno è noto come effetto Paschen-Back.

Separazione di due singole linee spettrali a causa dell'effetto Zeeman

[modifica] Elettrone in campo magnetico uniforme

L'hamiltoniano di un elettrone in un campo elettromagnetico è descritta per analogia al caso classico da:

$H = \frac{1}{2m} \left( \mathbf p + \frac{e}{c} \mathbf A \right)^2 - e V$

dove $\mathbf A$ è il potenziale vettore e $V$ è il potenziale scalare del campo elettromagnetico, come suggeriscono le equazioni di Maxwell. L'equazione di Schrödinger diventa:

$i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = H \psi = \left[-\frac{\hbar^2}{2 m} \left( \mathbf{\nabla} + \frac{ie}{\hbar c} \mathbf A \right)^2 - e V \right] \psi$

Per il caso dell'effetto Zeemann poniamoci nel caso in cui il campo magnetico $\mathbf{B}$ esterno è uniforme e diretto secondo l'asse z:

$\mathbf B = B \mathbf z$

allora in base alla relazione $\mathbf B = \mathbf{\nabla} \times \mathbf A$ abbiamo:

$B = \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}$

allora il potenziale vettore è scelto come:

$\mathbf A = (A_x, A_y, A_z) = \left(- \frac{By}{2}, \frac{B x}{2}, 0 \right)$

L'hamiltoniana diventa:

$H = \frac{1}{2m} \left[\left(p_x - \frac{e}{2c} B y \right)^2 + \left(p_y + \frac{e}{2c} B x \right)^2 + p_{z}^{2} \right] - e V$

che riscritta nella forma:

$H = H_0 + \frac{e}{2 m c} B L_z + \frac{e^2}{8 m c^2} B^2 (x^2 + y^2)$

dove abbiamo chiamiato:

$H_0 = \frac{1}{2m} p^2 - e V$

che rappresenta l'hamiltoniana imperturbata (m rappresenta la massa ridotta poiché in genere si trattano le soluzioni senza approssimazioni sul moto dell'elettrone) e i termini aggiuntivi possono considerarsi perturbazioni su $H 0$ . Possiamo quantificare l'ordine di grandezza sapendo che i valori medi di $\langle L_z \rangle \sim \hbar$ e di $\langle x^2 + y^2 \rangle \sim a_{0}^{2}$ dove $a 0$ è il raggio di Bohr:

$\frac{\frac{e^2}{8 m c^2} a_{0}^{2} B^2}{\frac{e}{2 m c} \hbar B} \simeq \frac{e^2}{4 \hbar c} \frac{B}{e/ a_{0}^{2}} \simeq \frac{B}{9 \cdot 10^9} \, \mbox{ Gauss }$

e

$\frac{(e/2 m c) \hbar B}{(e^2/a_0)} \simeq \frac{\hbar/m c}{(2e/a_0)} \simeq \frac{B}{5 \cdot 10^9} \, \mbox{ Gauss }$

che come si vede i due termini sono piccoli per i campi magnetici tipici ottenibili in laboratorio che sono di $B \simeq 10^4$ Gauss, cioè perturbazioni almeno dell'ordine $10 - 5$ .

Il contributo lineare in $B$ rappresenta il contributo paramagnetico e deriva dall'interazione magnetica tra il momento magnetico orbitale $\vec \mu$ e quello angolare:

$\mathbf{\mu} = -\frac{e^2}{2 m c} \mathbf L$

con energia

$- \mathbf{\mu} \cdot \mathbf B = \omega_L L_z$

dove:

$\omega_L = \frac{e}{2 m c} B$

è la frequenza di Larmor. In pratica è come se l'elettrone percorrendo l'orbita è assimilabile ad una piccola spira percorsa da una corrente elettrica che in presenza di campo magnetico produce un momento magnetico: allora il momento angolare orbitale precede intorno all'asse z con una velocità angolare pari a $ω L$ : la quantità $e / 2 m c$ è detta rapporto giromagnetico e interviene nella definizione del magnetone di Bohr:

$\mu_B = \frac{e \hbar}{2 m c} = 5.788 \cdot 10^{-5} \, \, eV \, T^{-1}$

Il contributo quadratico in $\mathbf B$ rappresenta il contributo diamagnetico e deriva dal momento magnetico indotto da $\mathbf B$ che in genere è ancora più modesto energeticamente rispetto a quello paramagnetico.

I due contributi, ma soprattutto per quanto detto il contributo lineare in $\mathbf B$ , non modificano gli stati e ogni livello degenere si separa il $(2 l + 1)$ livelli equidistanziati di $\hbar \omega_L$ , questo effetto va sotto il nome di effetto Zeeman normale. Però anche i livelli con $l = m = 0$ che a priori non dovrebbero essere influenzati dal contributo paramagnetico subiscono uno sdoppiamento e questo fenomeno va sotto il nome di effetto Zeeman anomalo.

[modifica] Effetto Zeeman normale

L'effetto Zeeman normale può essere descritto con l'aiuto di un modello semi-classico. Ciò significa considerare l'elettrone come una particella che descrive un'orbita attorno al nucleo atomico, possedendo però un momento angolare quantizzato (vedi modello atomico di Bohr).

Percorrendo l'elettrone un'orbita di raggio r con velocità v, si ottiene una corrente elettrica I data dalla relazione

$I = - e \cdot \frac{v}{2\pi r}$ .

Questa corrente genera un campo magnetico $\mathbf{B}$ dato da

$\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\mathbf J \times \mathbf r}{r^3} = - \frac{Ze \mu_0}{4 \pi} \frac{\mathbf v \times \mathbf r}{r^3}$

e un momento magnetico:

$\mathbf{\mu_l} = I \cdot \vec{A} = -e v \frac{r}{2} \cdot \hat{n}$ .

Il vettore $\mathbf{A}$ è il vettore di superficie, ed è perpendicolare all'area dell'orbita descritta dall'elettrone.

Il momento magnetico interagisce con il momento angolare dell'elettrone:

$\vec{\mu_l} = -\frac{e}{2 m_e} \cdot \mathbf{L}$

dove il momento angolare assume il valore

$\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} = m_e \cdot r \cdot v \cdot \hat{n}$ .

L'espressione dell'energia potenziale in un campo magnetico ( $E_{pot} = - \mathbf{\mu_l} \cdot \mathbf{B}$ ), diviene quindi:

$E_{pot} = \frac{e}{2 m_e} \cdot \mathbf{L} \cdot \mathbf{B}$

che già esprime la separazione delle linee spettrali per effetto Zeeman.

Supponendo che il campo magnetico sia diretto verso l'asse z, la quantizzazione del momento angolare ( $l_z = m \cdot \hbar$ ) permette di ricavare dalla precedente equazione l'espressione dell'energia potenziale

$E_{pot} = \frac{e\cdot \hbar}{2 m_e}m \cdot B = \mu_B \cdot m \cdot B$

dove m è il numero quantico magnetico e $μ B$ il magnetone di Bohr.

I livelli energetici saranno quindi

$E = E_{coulomb} + \mu_B \cdot m \cdot B$

da cui si nota che la separazione delle linee è funzione solamente del numero quantico magnetico.

[modifica] Effetto Zeeman anomalo

Nella descrizione dell'effetto Zeeman anomalo occorre considerare lo spin dell'elettrone. L'estensione della trattazione semi-classica in questo caso non è più possibile, essendo il fenomeno di natura puramente quantomeccanica.

I momenti angolari e di spin possono dare accoppiamento J producendo un momento magnetico totale (interazione spin-orbita), allo stesso modo il momento angolare ( $\mathbf{\mu_L} = -\frac{\mu_B}{\hbar}\cdot \mathbf{L}$ ) può accoppiarsi col momento di spin ( $\mathbf{\mu_S} = -g_s \frac{\mu_B}{\hbar}\cdot \mathbf{S}$ ) generando un momento angolare totale $\mathbf{\mu_J}$ dato da

$\mathbf{\mu_J} = \mathbf{\mu_S} + \mathbf{\mu_L} = -\frac{\mu_B}{\hbar} \left( g_s \mathbf{S} + \mathbf{L}\right)$

con il rapporto giromagnetico di spin $g_s \approx 2$ .

Da questa relazione è possibile notare come $\mathbf{\mu_J}$ e il momento angolare $\mathbf{J}$ siano paralleli a causa dell'effetto del momento di spin anomalo.

I vettori dei momenti angolari e di spin precedono attorno l'asse del vettore $\mathbf{J}$ , per cui il vettore di spin medio risulta essere la proiezione dello spin sulla direzione di $\mathbf{J}$ .

Dalla teoria perturbativa è possibile ricavare la separazione per effetto Zeeman anomalo tra due livelli energetici vicini:

$\Delta E_B = \mu_B \cdot B \cdot m_j \cdot g_J$

dove $g J$ è il fattore g di Landé relativo al momento angolare totale, ricavabile dalla relazione

$g_J = 1 + \frac{J(J+1) + S(S+1) - L(L+1)}{2J(J+1)}$ .

Essendo $g J$ dipendente sia da j che da l, è possibile notare come la separazione per due differenti livelli energetici differisca da quella relativa all'effetto Zeeman normale, con uno spettro che risulta più complicato a causa dell'effetto Zeeman anomalo.

[modifica] Effetto Zeeman quadratico

Un campo magnetico esterno è sempre in grado di generare un momento indotto anche nel caso in cui non si abbia un momento magnetico permanente. Come noto, il valore del momento indotto risulta essere uguale a

$\vec \mu_{ind} = \alpha_m \vec B$ .

Questa interazione produce una ulteriore suddivisione dell'energia calcolabile dall'equazione

$\Delta E = \alpha_m \cdot B^2$ .

Questo effetto viene generalmente trascurato rispetto all'effetto Zeeman lineare.

[modifica] Bibliografia

P. Zeeman, On the influence of Magnetism on the Nature of the Light emitted by a Substance, Phil. Mag. 43: 226 (1897)
P. Zeeman, Doubles and triplets in the spectrum produced by external magnetic forces, Phil. Mag. 44: 55 (1897)
P. Zeeman, The Effect of Magnetisation on the Nature of Light Emitted by a Substance
P. Forman, Alfred Landé and the anomalous Zeeman Effect, 1919-1921, Historical Studies in the Physical Sciences 2: 153-261 (1970)

[modifica] Collegamenti esterni

Proprietà magnetiche degli atomi

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Indice

[modifica] Introduzione

[modifica] Elettrone in campo magnetico uniforme

[modifica] Effetto Zeeman normale

[modifica] Effetto Zeeman anomalo

[modifica] Effetto Zeeman quadratico

[modifica] Bibliografia

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