Distribuzione binomiale: differenze tra le versioni
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Se ''P'' è una variabile aleatoria che segue la [[distribuzione Beta]] <math>\Beta(a,b)</math> e ''S<sub>n</sub>'' è una variabile aleatoria con distribuzione binomiale <math>\mathcal{B}(p,n)</math>, allora la [[probabilità condizionata]] da ''S<sub>n</sub>=x'' per ''P'' segue la distribuzione Beta <math>\Beta(a+x,b+n-x)</math>. In altri termini, la distribuzione Beta descrive ''P'' sia ''a priori'' che ''a posteriori'' di ''S<sub>n</sub>=x''.</br> |
Se ''P'' è una variabile aleatoria che segue la [[distribuzione Beta]] <math>\Beta(a,b)</math> e ''S<sub>n</sub>'' è una variabile aleatoria con distribuzione binomiale <math>\mathcal{B}(p,n)</math>, allora la [[probabilità condizionata]] da ''S<sub>n</sub>=x'' per ''P'' segue la distribuzione Beta <math>\Beta(a+x,b+n-x)</math>. In altri termini, la distribuzione Beta descrive ''P'' sia ''a priori'' che ''a posteriori'' di ''S<sub>n</sub>=x''.</br> |
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In particolare la [[distribuzione continua uniforme]] sull'intervallo [0,1] è un caso particolare di distribuzione Beta <math>\Beta(1,1)</math>, quindi la distribuzione per ''P'', a posteriori di ''S<sub>n</sub>=x'', segue la legge Beta <math>\Beta(x+1,n-x+1)</math>, che per inciso ha un [[massimo e minimo di una funzione|massimo]] in ''x/n''. |
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== Voci correlate == |
== Voci correlate == |
Versione delle 20:32, 22 apr 2012
Distribuzione binomiale | |
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Funzione di distribuzione discreta | |
Funzione di ripartizione | |
Parametri | |
Supporto | |
Funzione di densità | |
Funzione di ripartizione | (funzione Beta incompleta regolarizzata) |
Valore atteso | |
Mediana | tra e (non precisa) |
Moda | se |
Varianza | |
Indice di asimmetria | |
Curtosi | |
Funzione generatrice dei momenti | |
Funzione caratteristica | |
In teoria della probabilità la distribuzione binomiale è una distribuzione di probabilità discreta che descrive il numero di successi in un processo di Bernoulli, ovvero la variabile aleatoria che somma n variabili aleatorie indipendenti di uguale distribuzione di Bernoulli B(p).
Esempi di casi di distribuzione binomiale sono i risultati di una serie di lanci di una stessa moneta o di una serie di estrazioni da un'urna (con reintroduzione), ognuna delle quali può fornire due soli risultati: il successo con probabilità p e il fallimento con probabilità q=1-p.
Definizione
La distribuzione binomiale è caratterizzata da due parametri:
- : la probabilità di successo della singola prova di Bernoulli Xi (0 < p < 1).
- : il numero di prove effettuate.
Per semplicità di notazione viene solitamente utilizzato anche il parametro , che esprime la probabilità di fallimento per una singola prova.
La distribuzione di probabilità è:
cioè ogni successione con k successi e n-k insuccessi ha probabilità , mentre il numero di queste successioni, pari al numero di modi (o combinazioni) in cui possono essere disposti i k successi negli n tentativi, è dato dal coefficiente binomiale .
La formula del binomio di Newton mostra come la somma di tutte le probabilità nella distribuzione sia uguale ad 1:
Esempio
Per calcolare la probabilità di ottenere con 5 lanci di un dado (equilibrato a 6 facce) esattamente 3 volte "4", basta considerare i lanci come un processo di Bernoulli.
Ogni singola prova ha probabilità p=1/6 di ottenere "4" (successo) e probabilità q=5/6 di non ottenerlo (insuccesso). Il numero di successi con 5 prove è allora descritto da una variabile aleatoria S5 di legge B(5,1/6).
La probabilità di ottenere esattamente 3 volte "4" con 5 lanci (e 2 volte "non 4") è
Caratteristiche
Siccome la distribuzione binomiale B(n,p) descrive una variabile aleatoria Sn definita come la somma di n variabili aleatorie indipendenti Xi di uguale legge di Bernoulli B(p), molte caratteristiche di Sn possono essere ricavate da quelle di X:
- la varianza
- il coefficiente di skewness
- il coefficiente di curtosi
La moda di si ottiene confrontando le probabilità successive . Se è un numero intero allora e la moda non è unica; se invece non è un intero allora la moda è pari alla sua parte intera .
Non esistono formule precise per la mediana di , che tuttavia dev'essere compresa tra le parti intere inferiore e superiore di , e . Se è un intero allora la mediana è . Se la funzione di ripartizione assume il valore (ad esempio per ed dispari) allora tutti i valori dell'intervallo possono essere presi come mediana.
Altre distribuzioni di probabilità
La distribuzione di Bernoulli B(p) può essere considerata come un caso particolare di distribuzione binomiale B(p,1), che descrive un processo di Bernoulli con una sola prova: S1=X1.
I successi in una sequenza di estrazioni da un'urna, effettuate senza reintroduzione degli estratti, sono descritti da una variabile aleatoria che segue la legge ipergeometrica.
Convergenze
Per valori di n sufficientemente grandi la legge binomiale è approssimata da altre leggi.
Quando n tende a infinito, lasciando fisso λ=np, la distribuzione binomiale tende alla distribuzione di Poisson P(λ)=P(np). In statistica quest'approssimazione viene solitamente accettata quando n ≥ 20 e p ≤ 1/20, oppure quando n ≥ 100 e np ≤ 10.
Per il teorema del limite centrale, quando n tende a infinito, lasciando fisso p, la distribuzione binomiale tende alla distribuzione normale N(np,npq), di speranza np e varianza npq. In statistica quest'approssimazione viene solitamente accettata quando np>5 e nq>5.
Più precisamente, il teorema del limite centrale afferma che
Generalizzazioni
Una generalizzazione della distribuzione binomiale è la legge distribuzione Beta-binomiale , che descrive la somma di n variabili aleatorie indipendenti, ognuna con distribuzione di Bernoulli , dove P segue la legge Beta . (Al contrario della distribuzione binomiale, le Xi non hanno lo stesso parametro.)
La distribuzione binomiale è una delle quattro distribuzioni di probabilità definite dalla ricorsione di Panjer: .
Statistica
Nell'inferenza bayesiana si utilizzano particolari relazioni tra la distribuzione binomiale e altre distribuzioni di probabilità.
Se P è una variabile aleatoria che segue la distribuzione Beta e Sn è una variabile aleatoria con distribuzione binomiale , allora la probabilità condizionata da Sn=x per P segue la distribuzione Beta . In altri termini, la distribuzione Beta descrive P sia a priori che a posteriori di Sn=x.
In particolare la distribuzione continua uniforme sull'intervallo [0,1] è un caso particolare di distribuzione Beta , quindi la distribuzione per P, a posteriori di Sn=x, segue la legge Beta , che per inciso ha un massimo in x/n.