Quadrato: differenze tra le versioni
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Il punto di intersezione delle due diagonali è detto '''centro del quadrato''' ed è centro di [[simmetria (matematica)|simmetria]] di [[rotazione (matematica)|rotazione]] e di [[simmetria centrale (matematica)|simmetria centrale]] per il quadrato. L'ordine della simmetria di rotazione del quadrato è 4; in altre parole, il quadrato è invariante per le rotazioni intorno al suo centro relative agli angoli <math>k\frac\pi2 \mbox{rad} = k 90^\circ \mbox{ per } k=0,1,2,3</math>; naturalmente la rotazione di <math>\,\pi</math> [[radiante|radianti]] è la simmetria centrale. |
Il punto di intersezione delle due diagonali è detto '''centro del quadrato''' ed è centro di [[simmetria (matematica)|simmetria]] di [[rotazione (matematica)|rotazione]] e di [[simmetria centrale (matematica)|simmetria centrale]] per il quadrato. L'ordine della simmetria di rotazione del quadrato è 4; in altre parole, il quadrato è invariante per le rotazioni intorno al suo centro relative agli angoli <math>k\frac\pi2 \mbox{rad} = k 90^\circ \mbox{ per } k=0,1,2,3</math>; naturalmente la rotazione di <math>\,\pi</math> [[radiante|radianti]] è la simmetria centrale. |
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== Equazione di un quadrato su un piano cartesiano == |
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Il quadrato <math>Q</math> di lato 2 e centro l'origine può essere descritto in vari modi. Ad esempio: |
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:<math>Q=\big\{(x,y)\ \big|\ |x|\leq 1, |y|\leq 1\big\}. </math> |
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Il suo bordo è quindi |
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:<math>\partial Q=\big\{(x,y)\ \big|\ |x|=1, |y|\leq 1\}\cup\{(x,y)\ |\ |y|=1, |x|\leq 1\big\}. </math> |
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Questo può essere anche descritto come |
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:<math>\partial Q =\big\{(x,y)\ \big|\ 0<\lim_{n\rightarrow \infty} x^{2n}+y^{2n}<\infty\big\}.</math> In [[matematica]], questo quadrato rappresenta la [[sfera unitaria|palla unitaria]] del piano rispetto alla [[norma uniforme]]. |
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Più in generale, l'equazione cartesiana di un quadrato avente centro nell'origine degli assi è: <math>Q: \big|ax+by| + |bx-ay| \leq 1, \quad\ a \ne\ 0 \ \lor\ b \ne\ 0 </math> |
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Se si considera invece il centro del quadrato nel punto di coordinate <math> \big(x_0,y_0) </math> l'equazione diventa: |
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<math>Q: \big|a(x-x_0)+b(y-y_0)| + |b(x-x_0)-a(y-y_0)| \leq 1 </math> |
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da cui: |
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<math>Q: \big|ax+by-ax_0 -by_0| + |bx-ay-bx_0+ay_0| \leq 1 </math> |
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ovvero nella forma più generale possibile: |
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<math>Q: \big|ax+by+p| + |bx-ay+q| \leq 1, \quad\ a \ne\ 0 \ \lor\ b \ne\ 0 </math> |
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Il cui bordo è quindi: |
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<math>Q: \big|ax+by+p| + |bx-ay+q| = 1, \quad\ a \ne\ 0 \ \lor\ b \ne\ 0 </math> |
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== Esistenza del quadrato == |
== Esistenza del quadrato == |
Versione delle 18:52, 1 giu 2024
Un quadrato, in geometria, è un quadrilatero regolare, cioè un poligono con quattro lati e quattro angoli congruenti.
Confronto con altre figure geometriche
Il quadrato è un caso particolare di rombo (in quanto ha tutti e quattro i lati congruenti) e di rettangolo (in quanto ha quattro angoli congruenti) quindi è un caso particolare di parallelogramma (in quanto ha i lati a due a due paralleli).
Caratteristiche principali nella geometria euclidea
Le diagonali di un quadrato euclideo sono congruenti e perpendicolari, il loro punto di intersezione le divide a metà e misurano come il lato moltiplicato per la radice quadrata di 2:
Questa formula si dimostra con il teorema di Pitagora. Ciascuna diagonale, infatti, divide il quadrato in due triangoli rettangoli per i quali vale che la somma dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato costruito sull'ipotenusa (che è la diagonale).
- .
Il perimetro di un quadrato, visto che ha tutti i lati congruenti, misura:
L'area di un quadrato, visto che l'altezza e la base sono congruenti, misura:
ma si può calcolare anche come
- per il teorema di Pitagora.
Da ciò si deduce che la diagonale di un quadrato di area a è il lato del quadrato con Area 2a.
Il quadrato possiede 4 assi di simmetria: 2 passanti per una coppia di vertici opposti e 2 passanti per una coppia di punti medi dei lati.
Il punto di intersezione delle due diagonali è detto centro del quadrato ed è centro di simmetria di rotazione e di simmetria centrale per il quadrato. L'ordine della simmetria di rotazione del quadrato è 4; in altre parole, il quadrato è invariante per le rotazioni intorno al suo centro relative agli angoli ; naturalmente la rotazione di radianti è la simmetria centrale.
nigga
Esistenza del quadrato
Una dimostrazione costruttiva dell'esistenza del quadrato è data da Euclide nella proposizione 46 del I libro degli Elementi, subito prima di usare questa figura nell'enunciare e dimostrare il teorema di Pitagora. Nella tradizione didattica moderna l'esistenza dei quadrati è invece in genere data per scontata. Bisogna notare che la dimostrazione euclidea usa indirettamente il V postulato e l'esistenza di quadrati non è garantita nelle geometrie non euclidee.
Ad esempio, in geometria iperbolica non esistono poligoni con quattro lati uguali e quattro angoli retti: la somma degli angoli interni di un quadrilatero iperbolico è infatti sempre strettamente minore di un angolo giro.
Costruzione
Un quadrato può essere inscritto in una circonferenza con riga e compasso. Qui sotto ne è mostrata un'animazione:
Voci correlate
- Quadrilatero
- Quadrato (algebra)
- Teorema delle intersezioni dimensionali
- Sezioni ipercubiche ortoassiali
Altri progetti
- Wikizionario contiene il lemma di dizionario «quadrato»
- Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul quadrato
Collegamenti esterni
- quadrato, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
- Attilio Frajese, QUADRATO, in Enciclopedia Italiana, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1935.
- quadrato², su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
- quadrato, su sapere.it, De Agostini.
- (EN) square, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Eric W. Weisstein, Quadrato, su MathWorld, Wolfram Research.
Controllo di autorità | Thesaurus BNCF 21705 · LCCN (EN) sh85127084 · GND (DE) 4129044-6 · BNF (FR) cb16529362t (data) · J9U (EN, HE) 987007529423205171 |
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