Poliedro sferico

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Vai alla navigazione Vai alla ricerca
Il più familare dei poliedri sferici è senza dubbio l'icosaedro troncato sferico, forma del più comune modello di pallone da calcio, qui mostrato a destra a confronto con l'icosaedro troncato, a sinistra.

In matematica, un poliedro sferico o tassellatura sferica è una tassellatura della sfera in cui la superficie è divisa o partizionata da archi di un cerchio massimo in regioni chiuse chiamate poligoni sferici.

Tra questi poliedri figurano casi di poliedri impropri, come gli osoedri e i loro duali, i diedri, i quali esistono come poliedri sferici ma risultano essere casi degeneri se si considerano i loro equivalenti a facce piane.

Storia[modifica | modifica wikitesto]

Il primo studio significativo sui poliedri sferici è quello scritto nel X secolo dal matematico e astronomo persiano Abu l-Wafa Muhammad al-Buzjani.[1]

L'utilizzo dei poliedri sferici fu di grande aiuto all'elaborazione della geometria dei poliedri simmetrici e di quelli uniformi e al loro studio. Così, ad esempio, circa duecento anni fa, all'inizio del XIX secolo, Poinsot utilizzò i poliedri sferici per arrivare alla scoperta dei quattro poliedri stellati regolari, detti anche poliedri di Keplero-Poinsot. A metà del XX secolo, invece, Harold Coxeter utilizzò tali poliedri per poter enumerare tutti tranne uno i poliedri uniformi esistenti, attraverso la costruzione di Wythoff (l'unico poliedro che rimase fuori fu il grande dirombicosidodecaedro).[2][3]

La formula di Eulero vale anche per i poliedri sferici, ossia anche nel loro caso, indicando con , e rispettivamente i numeri di facce, spigoli e vertici del poliedro, si ha che: oppure .[4]

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Tutti i poliedri regolari e semiregolari, e i loro duali, possono essere proiettati su una sfera come tassellature:

Simbolo di
Schläfli 		{p,q} t{p,q} r{p,q} t{q,p} {q,p} rr{p,q} tr{p,q} sr{p,q}
Incidenza
vertici 		pq q.2p.2p p.q.p.q p.2q.2q qp q.4.p.4 4.2q.2p 3.3.q.3.p
Simmetria
tetraedrica
(3 3 2)
33
3.6.6
3.3.3.3
3.6.6
33
3.4.3.4
4.6.6
3.3.3.3.3

V3.6.6
V3.3.3.3
V3.6.6
V3.4.3.4
V4.6.6
V3.3.3.3.3
Simmetria
ottaedrica
(4 3 2)
43
3.8.8
3.4.3.4
4.6.6
34
3.4.4.4
4.6.8
3.3.3.3.4

V3.8.8
V3.4.3.4
V4.6.6
V3.4.4.4
V4.6.8
V3.3.3.3.4
Simmetria
icosaedrica
(5 3 2)
53
3.10.10
3.5.3.5
5.6.6
35
3.4.5.4
4.6.10
3.3.3.3.5

V3.10.10
V3.5.3.5
V5.6.6
V3.4.5.4
V4.6.10
V3.3.3.3.5
Esempio
diedrico p=6
(2 2 6)
62
2.12.12
2.6.2.6
6.4.4
26
2.4.6.4
4.4.12
3.3.3.6
Tassellatura della sfera con triangoli sferici. Si tratta in questo caso di un icosaedro sferico con alcune delle facce non regolari.
n 2 3 4 5 6 7 8 10 ...
n-Prisma
(2 2 p) 		...
n-Bipiramide
(2 2 p) 		...
n-Antiprisma ...
n-Trapezoedro ...

Casi impropri[modifica | modifica wikitesto]

Come detto la tassellatura sferica permette di ottenere poliedri sferici che non sono ottenibili in geometria euclidea se non come casi degeneri, ossia gli osoedri, aventi simbolo di Schläfli {2,n}, e i diedri, aventi simbolo di Schläfli {n,2}. Nelle due tabelle seguenti sono riportati alcuni osoedri e diedri regolari.

Osoedri regolari · Mutazioni di simmetria *n22 di tassellature osoedriche regolari: nn
Spazio Sferico Euclideo
Nome della tassellatura Osoedro monogonale Osoedro digonale Osoedro trigonale Osoedro tetragonale Osoedro pentagonale Osoedro esagonale Osoedro ettagonale Osoedro ottagonale Osoedro ennagonale Osoedro decagonale Osoedro undecagonale Osoedro dodecagonale ... Osoedro apeirogonale
Immagine della tassellatura ...
Simbolo di Schläfli {2,1} {2,2} {2,3} {2,4} {2,5} {2,6} {2,7} {2,8} {2,9} {2,10} {2,11} {2,12} ... {2,∞}
Diagramma di Coxeter-Dynkin ...
Facce e spigoli 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ... ∞
Vertici 2 ... 2
Incidenza dei vertici 2 2.2 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212 ... 2∞


Famiglia di diedri regolari · Mutazioni di simmetria *n22 di tassellature diedrali regolari: nn
Spazio Sferico Euclideo
Nome tassellatura Diedro monogonale Diedro digonale (Triangolare)
Diedro trigonale 		(Tetragonale)
Diedro quadrato 		Diedro pentagonale Diedro esagonale ... Diedro apeirogonale
Immagine tassellatura ...
Notazione di Schläfli {1,2} {2,2} {3,2} {4,2} {5,2} {6,2} ... {∞,2}
Diagramma di Coxeter-Dynkin ...
Facce 2 {1} 2 {2} 2 {3} 2 {4} 2 {5} 2 {6} ... 2 {∞}
Spigoli e vertici 1 2 3 4 5 6 ... ∞
Incidenza dei vertici 1.1 2.2 3.3 4.4 5.5 6.6 ... ∞.∞

Relazione con le tassellature del piano proiettivo[modifica | modifica wikitesto]

I poliedri sferici che hanno almeno una simmetria inversiva sono connessi ai poliedri proiettivi[5] (ossia tassellature del piano proiettivo reale) - proprio come la sfera è un rivestimento universale dello spazio proiettivo (esiste infatti il rivestimento con due fogli dalla sfera unitaria allo spazio proiettivo reale) i poliedri proiettivi corrispondono tramite una mappa a 2 fogli a poliedri sferici che sono centralmente simmetrici. Inoltre, poiché un rivestimento è un omeomorfismo locale (in questo caso un'isometria locale), sia i poliedri sferici che i poliedri proiettivi corrispondenti hanno la stessa figura al vertice astratta.

Ad esempio, il rivestimento a due fogli di un emi-cubo (proiettivo) è il cubo sferico. L'emi-cubo ha 4 certici, 3 facce e 6 spigoli, ognuno dei quali è rivestito da due copie nella sfera, e di conseguenza il cubo ha 8 vertici, 6 facce e 12 spigoli, mentre entrambi questi poliedri hanno figura al vertice 4.4.4 (tre quadrati che si incontrano a un vertice).

Gli esempi meglio conosciuti di poliedri proiettivi sono i poliedri proiettivi regolari, i quozienti dei solidi platonici centralmente simmetrici, così come due classi infinite di diedri e osoedri:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Storia e Poliedri di Leonardo Da Vinci, su I modelli di Leonardo da Vinci, Maggio 2013. URL consultato il 2 novembre 2021.
  2. ^ Harold Scott Macdonald Coxeter, Michael Selwyn Longuet-Higgins e J. C. P. Miller, Uniform Polyhedra, in Philosophical Transactions of The Royal Society, vol. 246, n. 916, The Royal Society Publishing, 1954. URL consultato il 2 novembre 2021.
  3. ^ H. S. M. Coxeter, Regular polytopes, Cambridge University Press, 1974, ISBN 0-486-61480-8.
  4. ^ Marco Antognozzi, La caratterizzazione di Rivin dei poliedri iperbolici di volume finito (PDF), Università degli Studi di Pisa, 2014, pp. 19. URL consultato il 2 novembre 2021.
  5. ^ Peter McMullen e Egon Schulte, 6C. Projective Regular Polytopes, in Abstract Regular Polytopes, Cambridge University Press, 2002, pp. 162–5, ISBN 0-521-81496-0. URL consultato il 2 novembre 2021.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica
Estratto da "https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Poliedro_sferico&oldid=136313016"