Cubo perfetto

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Un cubo perfetto è un qualsiasi numero naturale la cui radice cubica corrisponde ad un numero intero.

y=x³, per valori interi 1≤x≤25.

In aritmetica e algebra, il cubo di un numero n è la sua terza potenza, cioè il risultato della moltiplicazione del numero per sé stesso tre volte:

n3 = n × n × n.

Si tratta anche della formula per calcolare il volume di un cubo il cui lato ha una lunghezza pari a n. Da qui il nome.

La funzione inversa di trovare il numero il cui cubo è n è detta "estrazione della radice cubica di n". Restituisce il lato di un cubo dato il volume.

Primi 20 cubi perfetti[modifica | modifica wikitesto]

La differenza fra i cubi di due interi consecutivi può essere espressa come:

oppure

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Il cubo di un numero appare nella formula per il calcolo del volume di una sfera, ottaedro, dodecaedro, icosaedro regolari, nella somma dei quadrati dei primi n numeri naturali, nella Terza legge di Keplero.

Se al prodotto di tre termini consecutivi di una progressione aritmetica con primo termina a e ragione d (a, e d interi positivi), si somma kd^2, si ottiene un numero cubo perfetto K.
Il prodotto di tre termini consecutivi di una progressione geometrica è un cubo perfetto.

Problema di Waring per i cubi[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Problema di Waring.

Ogni cubo perfetto può essere scritto come la somma di nove o meno cubi positivi. Ad esempio 23 non può essere scritto come la somma di un numero non inferiore a nove di cubi positivi:

23 = 23 + 23 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13.

Ultimo teorema di Fermat per i cubi[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Ultimo teorema di Fermat.

L'equazione non ha soluzioni intere non-banali (es. xyz = 0). Infatti, non ha interi di Eisenstein[1]

entrambe queste affermazioni sono vere anche per l'equazione[2] .

Ciò non è vero se consideriamo la somma di cubi, con più di due addendi:

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Quaterne di Ramanujan.

Somma dei primi n cubi[modifica | modifica wikitesto]

  • I cubi dei numeri naturali sono la sommatoria di blocchi di numeri naturali dispari in ordine crescente, esempio:
  • A partire dalle successione di numero esagonale centrato

la somma dei primi n cubi è l' n-esimo numero triangolare quadrato

Visual proof that 1Template:Sup + 2Template:Sup + 3Template:Sup + 4Template:Sup + 5Template:Sup = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)Template:Sup.

Ad esempio la somma dei primi 5 cubi perfetti è il quadrato del quinto numero triangolare

ma x, y devono soddisfare l'equazione di Pell negativa . Ad esempio per y = 5 e 29, allora,

e così via. Ogni numero perfetto, eccetto il minore, è la somma dei primi cubi dispari:

Somma di cubi di numeri in progressione aritmetica[modifica | modifica wikitesto]

Esistono esempi di cubi di numeri in progressione aritmetica la cui somma è un cubo:

La formula F per trovare la somma di n cubi di numeri in progressione aritmetica, aventi comune differenza d a partire da un cubo iniziale , è:

è data da

Una soluzione parametrica

è nota per , o cubi consecutivi, ma soluzioni non sporadiche sono note anche per interi , quali [3]

Somma dei reciproci[modifica | modifica wikitesto]

La somma dei reciproci di tutti i cubi, usata in una grande varietà di situazioni, è nota come Costante di Apéry. Il suo vlaore è dato dalla Funzione zeta di Riemann in corrispondenza del punto 3.

Nei numeri razionali[modifica | modifica wikitesto]

Ogni numero razionale positivo è la somma di tre cubi razionali positivi, [4], mentre esistono razionali che non sono la somma di due cubi razionali.[5]

Funzione generatrice[modifica | modifica wikitesto]

La funzione generatrice di una serie formale di potenze , è data da:

Storia[modifica | modifica wikitesto]

Il calcolo del cubo di numeri grandi è comune nella Storia della matematica.
Nel 2010, Alberto Zanoni ha scoperto un algoritmo [1][6] per il calcolo del cubo di un grande intero, entro un certo intervallo, più veloce della esponenziazione binaria (elevamento a potenze intere positive grandi di un numero).

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Hardy & Wright, Thm. 227
  2. ^ Hardy & Wright, Thm. 232
  3. ^ A Collection of Algebraic Identities, sites.google.com.
  4. ^ Hardy & Wright, Thm. 234
  5. ^ Hardy & Wright, Thm. 233
  6. ^ http://www.springerlink.com/content/q1k57pr4853g1513/

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Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Hardy G. H., Wright E. M., An Introduction to the Theory of Numbers, 5° edizione, Oxford University Press, Oxford, 1980, isbn = 978-0-19-853171-5
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