Numero perfetto

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In matematica, un numero naturale si dice perfetto quando dove la funzione è la funzione sigma, cioè la funzione che fornisce la somma dei divisori positivi di . Poiché fra i divisori positivi di c'è stesso, questo equivale a dire che è uguale alla somma dei suoi divisori propri.

Ad esempio, il numero , divisibile per è un numero perfetto: lo stesso per che è divisibile per , e .

Cenni storici[modifica | modifica wikitesto]

I numeri perfetti furono inizialmente studiati dai pitagorici. Un teorema enunciato da Pitagora e dimostrato da Euclide rivelò che se è un numero primo, allora è perfetto. Successivamente Eulero dimostrò che tutti i numeri perfetti pari devono essere di tale forma. I numeri nella forma che sono primi sono detti primi di Mersenne. Si dimostra facilmente che se non è primo allora non lo è neanche .

I numeri perfetti godevano di una particolare importanza nella cultura ebraica come dimostra il fatto che, secondo l'ebraismo, il Mondo era stato creato in 6 giorni e il calendario ebraico si basava sul mese lunare, di 28 giorni. Le proprietà matematiche e religiose di questi numeri perfetti vennero sottolineate in seguito anche da alcuni commentatori cristiani. Nel suo trattato "La Genesi alla lettera", libro IV, par. 7,14, Sant'Agostino scrisse: «Sei è un numero perfetto in sé stesso, e non perché Dio ha creato tutte le cose in sei giorni. Anzi è vero l'opposto: Dio ha creato tutte le cose in sei giorni proprio perché questo è un numero perfetto».

Conoscenze attuali[modifica | modifica wikitesto]

Ad oggi[1] si conoscono 49 numeri perfetti, il più grande dei quali ha 44 677 235 cifre.

Esempio: Per via dell'espressione ogni numero perfetto pari è necessariamente:

  • è anche un numero pratico
  • ha come espressione binaria valori uguali a uno seguiti da zeri (con numero primo). Qui l'indice denota la base in cui il numero viene espresso:
610 = 1102
2810 = 111002
49610 = 1111100002
812810 = 11111110000002
3355033610 = 11111111111110000000000002.

I primi 12 numeri perfetti sono:

  • 6
  • 28
  • 496
  • 8 128
  • 33 550 336 (8 cifre)
  • 8 589 869 056 (10 cifre)
  • 137 438 691 328 (12 cifre)
  • 2 305 843 008 139 952 128 (19 cifre)
  • 2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176 (37 cifre)
  • 191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216 (54 cifre)
  • 13 164 036 458 569 648 337 239 753 460 458 722 910 223 472 318 386 943 117 783 728 128 (65 cifre)
  • 14 474 011 154 664 524 427 946 373 126 085 988 481 573 677 491 474 835 889 066 354 349 131 199 152 128 (77 cifre)

L'undicesimo numero perfetto è composto da 65 cifre, il dodicesimo da 77 e il tredicesimo da ben 314 cifre. Fino ad ora[1] si conoscono solo 49 primi di Mersenne, e quindi 49 numeri perfetti[2]. Il più grande tra questi è 274207281 × (274207281 − 1), formato in base 10 da 44 677 235 cifre.

I primi 44 numeri perfetti sono pari e quindi esprimibili come 2p-1(2p − 1) con:

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657[3].

Si conoscono altri 5 numeri perfetti maggiori, con

p = 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, 74207281

Tuttavia non si è ancora verificato se ve ne siano altri in mezzo.

Non si sa se i numeri perfetti continuino all'infinito né se esistono numeri perfetti dispari, però tutti i numeri perfetti pari terminano con un 6 oppure con un 8.

Infatti, da 2n-1 × (2n − 1) si ha che:
  • 2n-1 è pari e termina per 2, 4, 8, 6;
  • (2n − 1) è dispari e termina per 3, 7, 5, 1.
La cifra finale '5' va scartata perché sappiamo che (2n − 1) dev'essere primo, quindi le coppie che rimangono sono (2,3), (4,7) e (6,1), i cui prodotti danno le cifre 6 e 8 come finali di ogni numero perfetto pari.

Se la somma dei divisori di è maggiore di , il numero viene detto abbondante, mentre se risulta minore di 2N esso viene chiamato difettivo. Ogni numero che verifica viene detto lievemente abbondante, mentre un numero che verifica viene detto lievemente difettivo. Finora nessuno è riuscito a trovare numeri lievemente abbondanti. D'altra parte, mentre è facile verificare che tutte le potenze di due sono numeri lievemente difettivi, non si sa ancora se esistono numeri lievemente difettivi diversi dalle potenze di due.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b Fino a gennaio 2016.
  2. ^ GIMPS Home
  3. ^ (EN) Sequenza A000043, in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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