Teorema di Euclide-Eulero

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In matematica, il teorema di Euclide–Eulero è un teorema che mette in relazione i numeri perfetti ai primi di Mersenne. Il teorema afferma che ogni numero perfetto pari è della forma , dove è un numero primo, detto anche primo di Mersenne.

Si congettura che esistano infiniti primi di Mersenne. Sebbene la validità della congettura rimanga ignota, è equivalente, per il teorema di Euclide-Eulero, ad affermare l'esistenza di infiniti numeri perfetti pari. Tuttavia non si è nemmeno a conoscenza se esista un numero perfetto dispari.[1]

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Un numero perfetto è un numero naturale che è uguale alla somma dei suoi divisori propri, cioè escluso se stesso. Un primo di Mersenne è un numero primo della forma , dove deve essere anch'esso primo.

Il teorema di Euclide-Eulero afferma che un numero pari è perfetto se e solo se è della forma , dove è un primo di Mersenne.[1]

Storia[modifica | modifica wikitesto]

Euclide dimostrò che è numero perfetto pari ogni volta che è primo (Euclide, Prop. IX.36). Questo è il risultato finale della teoria dei numeri nei suoi Elementi, al contrario dei successivi libri in cui Euclide tratta i numeri irrazionali, la geometria solida e il rapporto aureo. Euclide espresse il suo risultato affermando che se una serie geometrica finita con valore iniziale 1 e ragione 2 ha una come somma un numero primo , allora moltiplicato per l'ultimo termine della serie è un numero perfetto. In altre parole, la somma della serie finita è il numero primo di Mersenne , mentre l'ultimo termine è la potenza . Euclide dimostrò che è perfetto osservando che la serie geometrica con ragione 2 e inizio in P, con lo stesso numero di termini, è proporzionale alla prima somma; pertanto, dato che la serie originale ha somma , la seconda serie vale e quindi la loro somma è uguale a , il doppio dell'ipotetico numero perfetto. Tuttavia, le due serie sono disgiunte una dall'altra e, per la primalità di , esauriscono tutti i divisori di . Perciò i divisori di hanno somma uguale a , che è la definizione di numero perfetto.[2]

Oltre un millennio dopo Euclide, Alhazen (c. 1000 DC) congetturò che ogni numero perfetto pari è della forma con primo, ma non fu mai in grado di dimostrarlo.[3]

Solo nel 18º secolo, Eulero riuscì a dimostrare che la formula produce tutti i numeri perfetti pari.[1][4] In altre parole, esiste una relazione biunivoca tra i numeri perfetti pari e i primi di Mersenne.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

La dimostrazione di Eulero è corta[1] e dipende dal fatto che la funzione sigma è una funzione moltiplicativa, cioè se e sono due interi relativamente primi, allora . Per fare questo, la somma dei divisori di un numero deve includere anche il numero stesso, non solo i divisori propri. Un numero è perfetto se e solo se .

Una direzione del teorema (la parte già dimostrata da Euclide) segue immediatamente dalla proprietà moltiplicativa: ogni primo di Mersenne dà origine a un numero perfetto pari. Quando è primo, . La somma dei divisori di è uguale a , mentre la primalità di implica che , dato che i suoi unici divisori sono 1 e se stesso. Sostituendo quanto trovato, si ricava che

Pertanto, è un numero perfetto.[5][6][7]

Per l'altra implicazione del teorema, sia un numero perfetto pari, parzialmente fattorizzato come , con dispari. Se è perfetto, si deve avere che

Il numero è almeno 3 e deve dividere o eguagliare , l'unico fattore dispari al membro sinistro, quindi è un divisore proprio di . Dividendo entrambi i membri dell'equazione per il fattore comune si ottiene

Per fare in modo che l'uguaglianza sia verificata, non ci devono essere altri divisori. Di conseguenza, deve essere 1, e deve essere un primo della forma .[5][6][7]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b c d John Stillwell, Mathematics and Its History, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 2010, p. 40, ISBN 978-1-4419-6052-8..
  2. ^ Euclid, The Thirteen Books of The Elements, Translated with introduction and commentary by Sir Thomas L. Heath, Vol. 2 (Books III–IX), 2nd, Dover, 1956, pp. 421–426..
  3. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham", MacTutor History of Mathematics archive, Università di St. Andrews.
  4. ^ (LA) Leonhard Euler, De numeris amicibilibus [On amicable numbers], in Commentationes arithmeticae, vol. 2, 1849, pp. 627–636.. Vedere in particolare la sezione 8, p. 88.
  5. ^ a b Larry Gerstein, Introduction to Mathematical Structures and Proofs, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 2012, Theorem 6.94, p. 339, ISBN 978-1-4614-4265-3..
  6. ^ a b Chris K. Caldwell, A proof that all even perfect numbers are a power of two times a Mersenne prime, su Prime Pages. URL consultato il 2 dicembre 2014..
  7. ^ a b Giancarlo Travaglini, Number Theory, Fourier Analysis and Geometric Discrepancy, London Mathematical Society Student Texts, vol. 81, Cambridge University Press, 2014, pp. 26–27, ISBN 978-1-107-04403-6..
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