Numero stella octangulare

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124 palline magnetiche disposte a formare una stella octangula. 124 è un numero stella octangulare

In teoria dei numeri, un numero stella octangulare è un numero figurato che rappresenta una stella octangula.
La formula per l'n-simo numero stella octangulare è:

n(2n^2-1)[1]

I primi numeri stella octangulari sono: 1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, 2651, 3444[2].

Proprietà matematiche[modifica | modifica sorgente]

L'n-esimo numero stella octangulare può essere espresso come la somma dell'n-simo numero ottaedrico e di 8 volte l'(n-1)-esimo numero tetraedrico.
Gli unici numeri stella octangulari ad essere anche quadrati perfetti sono 1 e 9653449 (3107²), rispettivamente il 1° e il 167° dei numeri di questa forma[3]. Ciò è stato dimostrato considerando che la curva ellittica che descrive i numeri allo stesso tempo stella octangulari e quadrati,

m2 = n(2n2 - 1),

può essere posta nell'equivalente forma di Weierstrass

x2 = y3 − 2y

sostituendo 2m con x e 2n con y. Dato che n e (2n2 - 1) - i due fattori di m² - sono primi tra loro, devono esseri anch'essi quadrati.
Ora, ponendo X=m/\sqrt{n} e Y=\sqrt{n}, si ha

X2 = 2Y4 − 1.[3]

Un teorema di Siegel afferma che ogni equazione ellittica ha solo un numero finito di soluzioni intere, e nel 1942 il matematico Wilhelm Ljunggren ha pubblicato una complessa dimostrazione del fatto che le due soluzioni note siano le uniche. Per questo, l'ultima equivalenza è anche nota come equazione di Ljunggren[4] Louis J. Mordell congetturò che tale dimostrazione potesse essere semplificata, come in effetti è poi avvenuto per merito di più matematici.[3][5][6].

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ John Conway, Richard K. Guy, The Book of Numbers, Springer, 1996, p. 51. ISBN 978-0-387-97993-9. .
  2. ^ (EN) Sequenza A007588 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  3. ^ a b c Samir Siksek, Descents on Curves of Genus I in Tesi di PhD, Università di Exeter, 1995, pp. 16–17.
  4. ^ Wilhelm Ljunggren, Zur Theorie der Gleichung x2 + 1 = Dy4 in Avh. Norske Vid. Akad. Oslo. I., vol. 1942, n. 5, 1942, p. 27. .
  5. ^ Ray Steiner, Nikos Tzanakis, Simplifying the solution of Ljunggren's equation X2 + 1 = 2Y4 in Journal of Number Theory, vol. 37, n. 2, 1991, pp. 123–132.
  6. ^ Konstantinos A. Draziotis, The Ljunggren equation revisited in Colloquium Mathematicum, vol. 109, n. 1, 2007, pp. 9–11.


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