Trasformata di Steinmetz

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In analisi funzionale, la trasformata di Steinmetz, il cui nome si deve a Charles Proteus Steinmetz, è un operatore funzionale lineare che associa ad una funzione f(t) di variabile reale, una funzione F(s) di variabile reale. La trasformata di Steinmetz rientra nella categoria delle trasformate integrali. Fu concepita dall'autore nel 1893, ed esposta nel suo trattato Teoria e calcolo dei fenomeni in corrente alternata quattro anni più tardi.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Data una funzione f(t) definita sull'insieme continuo -\pi / \omega \le t \le \pi/\omega, si definisce sua trasformata la funzione \mathfrak{s} \left\{f\right\}(\omega) data da:

\mathfrak{s} \left\{f\right\}(\omega) = \frac \omega \pi \int_{-\frac \pi \omega}^{\frac \pi \omega} \mathrm e^{-i \omega t} f(t)\,dt.

Talvolta la trasformata è indicata meno rigorosamente, specialmente tra ingegneri e fisici, nella forma \mathfrak{s} \left\{f(t)\right\}, essendo e il numero di Nepero ed il parametro \omega un numero reale.

Questa trasformata integrale ha numerose proprietà che la rendono utile per l'analisi dei circuiti in corrente alternata. Il vantaggio più significativo è che le grandezze sinusoidali nel dominio del tempo diventano dei numeri complessi, e che l'integrale e la derivata di una funzione diventano rispettivamente una divisione e una moltiplicazione per la variabile immaginaria iω, analogamente al modo in cui i logaritmi cambiano la moltiplicazione di numeri nella loro addizione. Essa trasforma le equazioni integrali e le equazioni differenziali in equazioni polinomiali, che sono più immediate da risolvere.

Anche la risposta (l'uscita) di un sistema dinamico lineare può essere calcolata come prodotto di convoluzione della sua risposta impulsiva unitaria con il segnale d'ingresso. Sviluppando questo calcolo nello spazio di Steinmetz la convoluzione diventa una moltiplicazione, che spesso rende il problema più semplice.

La trasformata di Steinmetz può anche essere usata per risolvere le equazioni differenziali e trova numerose applicazioni nell'ingegneria elettrica.

Trasformata inversa[modifica | modifica sorgente]

L'inversa della trasformata di Steinmetz '\mathfrak{s}^{-1}, detta antitrasformata, è la funzione:

f(t) = \mathfrak{s}^{-1}\left\{ g \right\} (t),

dove \mathfrak{s} è la trasformata di Steinmetz. Si prova che se una funzione g(s) ha la trasformata inversa f(t), ovvero f è una funzione continua a tratti che soddisfa la condizione:

\mathfrak{s}\{f\} (\omega) = g(\omega)

allora f(t) è univocamente determinata:

\mathfrak{s}^{-1}\left\{ g \right\} (t) = \Re{(g (\omega) \mathrm e^{i \omega t})}

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

\mathfrak{s}\left\{a f(t) + b g(t) \right\} = a \mathfrak{s}\left\{ f(t) \right\} + b \mathfrak{s}\left\{ g(t) \right\}
\mathfrak{s}\{f^{'}\}  = i \omega \mathfrak{s}\{f\}
\mathfrak{s}\{f^{''}\}  = - \omega^2 \mathfrak{s}\{f\}
\mathfrak{s}\left\{ f^{(n)} \right\} = i^n \omega^n \mathfrak{s}\left\{f\right\}
\mathfrak{s}\left\{ \int_{0}^{t} f(\tau)\, d\tau \right\} = - {i \over \omega} \mathfrak{s}\{f(t)\}
  • Traslazione complessa:
\mathfrak{s}\left\{ e^{at} f(t) \right\} = \mathfrak{s}\left\{f\right\}(\omega - a)
\mathfrak{s}^{-1} \left\{ \mathfrak{s}\left\{f\right\}(s - a) \right\} = e^{at} f(t)
  • Traslazione nel tempo:
\mathfrak{s}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\} = e^{-a \omega} \mathfrak{s}\left\{f\right\}(s)
\mathfrak{s}^{-1} \left\{ e^{-as} \mathfrak{s}\left\{f\right\} \right\} = f(t - a) u(t - a)
dove u(t) è la funzione a gradino unitario o funzione gradino di Heaviside.
  • Moltiplicazione per t alla n-esima potenza:
\mathfrak (-1)^n\ \mathfrak{s}\{\,t^nf(t)\} = \frac {d^n}{ds^n}[\mathfrak{s}\left\{f\right\}(s)]
\mathfrak{s}\{f * g\} = \mathfrak{s}\{ f \} \mathfrak{s}\{ g \}
\mathfrak{s}\{ f \} = {1 \over 1 - e^{-ps}} \int_0^p e^{-st} f(t)\,dt

Teorema del valore iniziale e del valore finale[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema dei limiti.

Analogamente a quanto si fa per la trasformata di Laplace, anche per la trasformata di Steinmetz si possono enunciare due teoremi che permettono di conoscere il valore iniziale e il valore finale della funzione partendo dalla sua trasformata. Essi valgono per funzioni di classe C^1, causali (cioè nulle per t < 0) e con ascissa di convergenza A < \infty:

  • Teorema del valore iniziale:
f(0)=\lim_{t\rightarrow 0} f(t) =\lim_{\omega \rightarrow \infty}\omega \,\, \mathfrak{s} \left\{f\right\}(\omega)
  • Teorema del valore finale: se esiste f(\infty), allora:
f(\infty)=\lim_{t\rightarrow \infty} f(t)=\lim_{\omega \rightarrow 0}\omega \,\, \mathfrak{s} \left\{f\right\}(\omega)

Trasformata di alcune funzioni notevoli[modifica | modifica sorgente]

\mathfrak{s}\{\,\omega  t  + \theta\} = - 2 i
\mathfrak{s}\{\,\delta(\omega  t  + \theta)\} = - \frac {\mathrm e^{- i \theta}}{\pi} (2 \Theta (\omega) - 1) \Theta (\pi - \theta) \Theta (\pi + \theta) (\Theta (- \theta)- \Theta (\theta))
\mathfrak{s}\{\,\Theta(t)\} = \frac {2 i}{\pi} (\Theta (- \frac 1 \theta)- \Theta (\frac 1 \theta)) \qquad (\omega \ne 0)
\mathfrak{s}\{\, {\mathrm e^{\omega t + \theta}}\} = - \frac {\mathrm e^\pi - \mathrm e^{-\pi}}{2 \pi} (\mathrm e^\theta + \mathrm e^{-\theta} + i (\mathrm e^\theta - \mathrm e^{-\theta}))
\mathfrak{s}\{\,\mathrm{sin}(\omega t + \theta)\} = \mathrm e^{i (\theta - \frac \pi 2)} = \mathrm{sin}(\theta) - i \mathrm{cos}(\theta)
\mathfrak{s}\{\,\mathrm {sin}^2 (\omega t + \theta)\} = 0
\mathfrak{s}\{\,\cos(\omega t + \theta)\} = \mathrm e^{i \theta} = \mathrm{cos}(\theta) + i \mathrm{sin}(\theta)
\mathfrak{s}\{\,\mathrm {cos}^2(\omega t + \theta)\} = 0
\mathfrak{s}\{\,\mathrm{sin}h(\omega t + \theta)\} = - \frac {\mathrm e^\pi - \mathrm e^{-\pi}}{4 \pi} (\mathrm e^\theta + \mathrm e^{-\theta} + i (\mathrm e^\theta - \mathrm e^{-\theta})) = - \frac {\mathrm{sin}h(\pi)}{\pi} (\mathrm{cos}h(\theta) + i\mathrm{sin}h(\theta))
\mathfrak{s}\{\,\mathrm{sin}h^2(\omega t + \theta)\} = - \frac {\mathrm{sin}h(2 \pi)}{5 \pi} (2 \mathrm{cos}h(2 \theta) + i\mathrm{sin}h(2 \theta))
\mathfrak{s}\{\,\cosh(\omega t + \theta)\} = - \frac {\mathrm e^\pi - \mathrm e^{-\pi}}{4 \pi} (\mathrm e^\theta + \mathrm e^{-\theta} + i (\mathrm e^\theta - \mathrm e^{-\theta})) = - \frac {\mathrm{sin}h(\pi)}{\pi} (\mathrm{cos}h(\theta) + i\mathrm{sin}h(\theta))
\mathfrak{s}\{\,\mathrm{cos}h^2(\omega t + \theta)\} = - \frac {\mathrm{sin}h(2 \pi)}{5 \pi} (2 \mathrm{cos}h(2 \theta) + i\mathrm{sin}h(2 \theta))
\mathfrak{s}\{\,\operatorname{erf}(t)\} = - \frac {i}{\pi} [2 \operatorname{erf}(\frac \pi \omega) + \mathrm e^{-\frac {\omega^2}4}(\operatorname{erf}(\frac \pi \omega - i \frac \omega 2) + \operatorname{erf}(\frac \pi \omega + i \frac \omega 2))]

Relazione con le altre trasformate[modifica | modifica sorgente]

La trasformata di Steinmetz è strettamente legata alla trasformata di Fourier: a differenza di questa però il dominio di integrazione dipende dalla variabile di trasferimento:

2 \omega \mathcal{F}\{\,f\} (\omega) = \frac \omega \pi \int_{-\pi}^{\pi} \mathrm e^{-i \omega t} f(t)\,dt

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]