Potenza (fisica)

La potenza è definita come il lavoro (W) compiuto nell'unità di tempo (t), cioè la derivata dell'uno rispetto all'altro:

$P=\frac{\mathrm{d} W}{\mathrm{d}t}$

In base al principio di uguaglianza tra lavoro ed energia, la potenza misura anche la quantità di energia scambiata nell'unità di tempo, in un qualunque processo di trasformazione, meccanico, elettrico, termico o chimico che sia. Nel sistema internazionale di unità di misura la potenza si misura coerentemente in watt (W), come rapporto tra unità di energia in joule (J) e unità di tempo in secondi (s):

$1 \ \mathrm{W} =1 \, \frac {\mathrm{J}}{\mathrm{s}} = 1 \, \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^2 \cdot \mathrm{s}^{-3}$

Per motivi storici, si possono incontrare ancora unità di misura diverse, nate dall'uso di misurare l'energia e il tempo con unità diverse, a seconda del campo di applicazione. Ad esempio:

• Cavallo vapore (CV, in italiano, simile ad HP, in inglese): è la potenza necessaria per sollevare 75 kg (735 N) all'altezza di 1 m in 1 s, quindi 1 CV = 735 W = 0,735 kW; 1 CV = 0,9863 HP

Terza equazione di Eulero

La terza equazione cardinale è in effetti un'equazione nella potenza generica di un sistema materiale:

$\frac{\mathrm{d} W}{\mathrm{d}t}= \mathbf{F} \cdot \mathbf{V}_O+ \mathbf{M} \cdot \mathbf{\Omega}_O$

dove

• $W=\begin{matrix}\sum_{i}^N\mathbf{f}_i\cdot\mathbf{r}_i \end{matrix}$ è il lavoro totale che agisce sul sistema.
• $\mathbf{F}=\begin{matrix}\sum_{i}^N\mathbf{r}_i \times \mathbf{f}_i\end{matrix}$ è la risultante che agisce sul sistema
• $\mathbf{M}=\begin{matrix}\sum_{i}^N\mathbf{m}_i \times \mathbf{f}_i\end{matrix}$ è il risultante che agisce sul sistema
• $\mathbf{\Omega}_{O}$ e $\mathbf{V}_{O}$ sono rispettivamente la velocità angolare e la velocità del polo O (nome che diamo al punto arbitrario rispetto al quale si calcola il momento angolare)

Dimostrazione

Si calcola il lavoro totale (che non chiamiamo L solo per non confonderlo col momento angolare totale) di un sistema di punti materiali rispetto a un polo O. Chiamiamo r'_i = r_i − R_O la posizione del punto i-esimo nel sistema di riferimento del polo. Per la equazione fondamentale della cinematica, e poiché le forze interne non lavorano:

$dW=\sum{dw}=\sum{\mathbf{f_i\cdot d\mathbf r_i}}=\sum{\mathbf f_i\cdot (\mathbf{V}_O+\mathbf{\Omega_O}\times\mathbf{r'_i})dt}=$

$=\sum{\mathbf f_i\cdot\mathbf{V}_O} dt + \sum{\mathbf f_i \mathbf{\Omega_O}\times\mathbf{r'_i}}dt =$

$=\sum{\mathbf f_i} \cdot\mathbf{V}_O + \sum{\mathbf{\Omega_O}\cdot\mathbf{r'_i}\times\mathbf f_i}dt =$

$=(\sum{\mathbf f_i} \cdot\mathbf{V}_O + \mathbf{\Omega_O}\cdot\sum{\mathbf{m_i}})dt =$

Dunque in definitiva la potenza risulta:

$\frac{\mathrm{d} W}{\mathrm{d}t}= \mathbf{F} \cdot \mathbf{V}_O+ \mathbf{M} \cdot \mathbf{\Omega}_O$

che è proprio la nostra tesi: la potenza deriva quindi da tutti i tipi di forze generalizzate, confermando la sintesi della meccanica lagrangiana.

Relazione con l'irradianza

Col concetto di flusso si può legare la potenza all'irradianza I:

$P = \int_S I \operatorname d S$

In particolare questo integrale diventa per un corpo sferico radiante isotropicamente di raggio R come il Sole:

$P = \int_0^R I(r) \, 2 \pi r \, \operatorname d r = 2 \pi \int_0^R I(r) \, r \, \operatorname d r$

Applicazioni pratiche

Anche per effetto delle diverse unità di misura usate, talvolta si fa confusione col concetto di potenza.

Innanzi tutto bisogna tener presente che si può fare più lavoro (cioè consumare o produrre più energia) anche sviluppando potenza più bassa. Ciò infatti dipende dalla durata del processo secondo l'espressione integrale data sopra.

Ad esempio un maratoneta, alla fine di una gara di maratona, avrà consumato certamente più energia rispetto ad un centometrista dopo i suoi dieci secondi di gara; ma certamente la potenza che deve sviluppare il centometrista è enormemente superiore a quella del maratoneta.

Allo stesso modo una lampadina da 100 watt consuma un decimo di una stufetta (o di un altro elettrodomestico) da 1000 watt, ma se utilizziamo la stufetta per un'ora e lasciamo accesa la lampadina per 24 ore, alla fine la stufetta avrà consumato solo un chilowattora mentre la lampadina avrà consumato ben 2,4 chilowattora (il chilowattora è un modo, tollerato, per misurare l'energia: corrisponde all'energia di un sistema che sviluppa 1000 watt continuativamente per un'ora).

Ovviamente all'azienda elettrica si pagano i chilowattora, che misurano l'energia consumata; ma la stessa azienda elettrica fa pagare anche una quota base, proporzionale alla potenza impegnata (chilowatt), cioè al numero massimo di stufette da 1000 watt che si possono accendere contemporaneamente senza far "scattare" il contatore. Ciò perché, per sviluppare potenze più alte, occorrono linee elettriche più robuste, come muscoli robusti servono al centrometrista per il suo scatto.

Curva di potenza di una motocicletta

In un mezzo di trasporto, la velocità massima dipende dalla potenza, che è data dal prodotto della coppia (Nm) per il numero di giri del motore, mentre il legame tra la coppia e la potenza è espresso da queste due formule, rispettivamente per ricavare la potenza e la coppia.

$w = \frac{ \mathrm{Nm} \cdot \mathrm{rpm} \cdot 2\pi}{60}$

$\mathrm{Nm} = \frac{w\cdot 60}{\mathrm{rpm} \cdot 2\pi}$

Relazione con la velocità in autoveicoli

La potenza del motore delle automobili, motociclette o di qualsiasi mezzo stradale, può variare da pochi chilowatt fino a svariate centinaia.

La relazione che lega la velocità con la potenza erogata dal motore è influenzata da molti fattori ma, in via generale, si può affermare che la potenza richiesta dall'automobile per avanzare varia con linearità al variare della velocità sino a una certa soglia (indicativamente 30 km/h) per poi essere proporzionale al cubo della velocità.

Questo perché raddoppiando la velocità la resistenza aerodinamica (forza) aumenta di quattro volte e la potenza è data dalla velocità moltiplicata la forza necessaria a vincere la resistenza aerodinamica (forza). Ne segue che per poter andare ad un'andatura doppia bisogna che la potenza aumenti di otto volte, cioè del cubo della velocità.

Si può presumere allora che con un'autovettura, se per viaggiare a 70 km/h sia necessaria 1/6 in più della potenza rispetto a 60 km/h ovverosia 4 kW, non vale lo stesso per passare da 150 a 160 km/h (circa 10 kW). Quindi con un'automobile da 35 kW si raggiungono i 130 km/h, ma con una da 70 kW non si arriva ai 260 km/h, ma all'incirca ai 175 km/h.
Questo accade perché fino alla velocità limite le forze da vincere per fare avanzare il veicolo sono quelle degli attriti meccanici e dell'attrito volvente degli pneumatici, pertanto, essendo la resistenza praticamente costante, la potenza (prodotto di forza per velocità), varia linearmente.

Oltre questa velocità (indicativamente 30 km/h) la componente di resistenza, prima trascurabile, dovuta all'aerodinamica diviene preponderante e variando col quadrato della velocità la sua forza, è sufficiente anche un modesto aumento della velocità per fare aumentare notevolmente la potenza necessaria.

La potenza assorbita viene profondamente influenzata dal peso della vettura e dall'efficienza aerodinamica.

Voci correlate

• Campo di forze
• Energia potenziale
• Potenziale
• Lavoro (fisica)
• Potenza (elettrotecnica)

Collegamenti esterni

• Convertire unità di power

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