Distribuzione di Weibull

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Distribuzione di Weibull
Funzione di densità di probabilità
Funzione di densità di probabilità
Funzione di ripartizione
Funzione di ripartizione
Parametri \lambda>0\
k>0\
Supporto \mathbb{R}^+
Funzione di densità \tfrac{k}{\lambda^k}x^{k-1}e^{-(\frac{x}{\lambda})^k}
Funzione di ripartizione 1-e^{-(\frac{x}{\lambda})^k}
Valore atteso \lambda\Gamma\left(1+\tfrac{1}{k}\right)\
(con \Gamma la funzione Gamma)
Mediana \lambda(\log 2 )^\tfrac{1}{k}
Moda \lambda\left(1-\tfrac{1}{k}\right)^\tfrac{1}{k} per k\geqslant 1
0 per k\leqslant 1
Varianza \lambda^2\big(\Gamma(1+\tfrac{2}{k})-\Gamma(1+\tfrac{1}{k})^2\big)(con \Gamma la funzione Gamma)
Indice di asimmetria
Curtosi
Entropia \left(1-\tfrac{1}{k}\right)\gamma+\log\tfrac{\lambda}{k}+1
(con \gamma la costante di Eulero-Mascheroni)
Funzione generatrice dei momenti
Funzione caratteristica

In teoria delle probabilità la distribuzione di Weibull è una distribuzione di probabilità continua definita sui numeri reali positivi e descritta da due parametri \lambda (parametro di scala o vita caratteristica) e k (parametro di forma).

Prende il nome dal matematico svedese Waloddi Weibull che la descrisse nel 1951.[1] La distribuzione era comunque stata già trattata dal matematico francese Maurice Fréchet nel 1927.[2]

La distribuzione fornisce un'interpolazione tra la distribuzione esponenziale (per k=1), la distribuzione di Rayleigh (per k=2) e la Distribuzione normale (per k>=3).

Viene impiegata per descrivere sistemi con tasso di guasto variabile nel tempo, come estensione della distribuzione esponenziale che prevede tassi di guasto costanti nel tempo.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

La distribuzione di Weibull di parametri \lambda>0 e k>0 è definita sui reali positivi con funzione di ripartizione

F(x)=1-e^{-(\frac{x}{\lambda})^k},

quindi funzione di densità di probabilità

f(x)=\tfrac{k}{\lambda^k}x^{k-1}e^{-(\frac{x}{\lambda})^k}.

Caratteristiche[modifica | modifica sorgente]

I momenti semplici della distribuzione di Weibull di parametri (\lambda,k) si possono ottenere con la sostituzione t=(\tfrac{x}{\lambda})^k:

\mu_n=\int_0^\infty x^n \frac{k}{\lambda^k}x^{k-1}e^{-(\frac{x}{\lambda})^k} dx=\int_0^\infty \lambda^n t^\frac{n}{k}e^{-t}dt=\lambda^n\Gamma\left(1+\tfrac{n}{k}\right),

dove \Gamma è la funzione Gamma.

In particolare una variabile aleatoria con questa distribuzione ha

speranza matematica E[X]=\lambda\Gamma(1+\tfrac{1}{k}) e
varianza \text{Var}(X)=\lambda^2\Gamma(1+\tfrac{2}{k})-\lambda^2\Gamma(1+\tfrac{1}{k})^2.

I quantili q_\alpha di ordine \alpha si esprimono tramite l'inversa della funzione di ripartizione,

q_\alpha=\lambda\left(\log\frac{1}{1-\alpha}\right)^\frac{1}{k}; [con Log Logaritmo Naturale (base "e")]

in particolare la mediana è

q_{1/2}=\lambda(\log 2)^\frac{1}{k}.

La moda è

  • \lambda\left(1-\tfrac{1}{k}\right)^\frac{1}{k} per k\geqslant 1
  • 0 per k\leqslant 1.

L'entropia è

H(X)=\left(1-\tfrac{1}{k}\right)\gamma+\log\left(\tfrac{\lambda}{k}\right)+1,

dove \gamma è la costante di Eulero-Mascheroni.

Altre distribuzioni[modifica | modifica sorgente]

La distribuzione di Weibull di parametri (\lambda,1) corrisponde alla distribuzione esponenziale \mathcal{E}(\tfrac{1}{\lambda}).

La distribuzione di Weibull di parametri (\lambda,2) corrisponde alla distribuzione di Rayleigh di parametro 2\lambda^2.

Una possibile generalizzazione della distribuzione di Weibull prevede l'introduzione di un parametro aggiuntivo \mu e descrive la variabile aleatoria X-\mu al posto di X.

La distribuzione di Weibull è descritta, insieme alla distribuzione di Fréchet e, come caso limite, alla distribuzione di Gumbel, dalla distribuzione generalizzata dei valori estremi.

Utilizzo[modifica | modifica sorgente]

Come la distribuzione esponenziale descrive la "durata di vita" di un fenomeno privo di memoria, così la distribuzione di Weibull può descrivere la durata di vita per un fenomeno la cui "probabilità di morire" può variare nel tempo, in funzione di k.

Il tasso di guasto, ovvero la densità di probabilità al tempo t condizionata dall'evento X\geqslant t, è

\frac{f(t)}{1-F(t)}=\tfrac{k}{\lambda^k}t^{k-1};

in particolare

  • per k<1 il tasso di guasto diminuisce nel tempo (alta "mortalità infantile")
  • per k=1 il tasso di guasto è invariante nel tempo (mancanza di memoria)
  • per k>1 il tasso di guasto aumenta con il tempo (invecchiamento)

La distribuzione di Weibull viene utilizzata in molti ambiti che trattano appunto i guasti, come l'analisi dei guasti, l'analisi di sopravvivenza, l'ingegneria dell'affidabilità e il controllo della qualità. Viene utilizzata anche nelle previsioni meteorologiche, come generalizzazione della distribuzione di Rayleigh.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ (EN) Weibull, W., A statistical distribution function of wide applicability in J. Appl. Mech.-Trans. ASME, vol. 18, n. 3, 1951, pp. 293-–297.
  2. ^ (FR) Fréchet, M., Sur la loi de probabilité de l'écart maximum in Ann. Soc. Polon. Math., vol. 6, 1927, pp. 93-–116.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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