Distribuzione di Rayleigh

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Distribuzione di Rayleigh
Funzione di densità di probabilità
Funzione di densità di probabilità
Funzione di ripartizione
Funzione di ripartizione
Parametri \sigma>0\
Supporto \mathbb{R}^+
Funzione di densità \frac{z}{\sigma^2}e^{-\frac{z^2}{2\sigma^2}}
Funzione di ripartizione 1-e^{-\frac{z^2}{2\sigma^2}}
Valore atteso \sigma\sqrt{\frac{\pi}{2}}
Mediana \sigma\sqrt{\log(4)}
Moda \sigma\
Varianza (2-\frac{\pi}{2})\sigma^2
Indice di asimmetria \frac{2\sqrt{\pi}(\pi-3)}{(4-\pi)^{3/2}}\approx0,631
Curtosi -2\frac{3\pi^2 - 12\pi +8}{(4-\pi)^2}\approx-0,245
Entropia 1+\frac{1}{2}\log\frac{\sigma^2}{2}+\frac{1}{2}\gamma
con \gamma la costante di Eulero-Mascheroni
Funzione generatrice dei momenti 1+\sqrt{\tfrac{\pi\sigma^2}{2}}te^\frac{\sigma^2t^2}{2}\Big(\text{erf}\big(\sqrt{\tfrac{\sigma^2}{2}}t\big)+1\Big)
con erf la funzione degli errori
Funzione caratteristica 1-\sqrt{\tfrac{\pi\sigma^2}{2}}te^{-\frac{\sigma^2t^2}{2}}\Big(w\big(\sqrt{\tfrac{\sigma^2}{2}}t\big)-i\Big)
con w la funzione degli errori complessa

In teoria delle probabilità la distribuzione di Rayleigh è una distribuzione di probabilità che descrive la distanza dall'origine di un punto (X,Y) nel piano euclideo le cui coordinate siano indipendenti e seguano entrambe la distribuzione normale centrata.

Prende il nome da Lord Rayleigh.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La distribuzione di Rayleigh di parametro \sigma^2>0 descrive la variabile aleatoria Z=\sqrt{X^2+Y^2}, dove X e Y sono variabili aleatorie indipendenti aventi entrambe distribuzione normale \mathcal{N}(0,\sigma^2).

La sua funzione di densità di probabilità è

f(z)=\frac{z}{\sigma^2}e^{-\frac{z^2}{2\sigma^2}}.

Questa si può ottenere direttamente dalla densità di probabilità della distribuzione normale, \textstyle\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}, sfruttando l'isotropia del vettore (X,Y):

f(z)=\int_{x^2+y^2=z^2}\phi(x)\phi(y)d\mu=2\pi z\frac{1}{2\pi\sigma^2}e^{-\frac{z^2}{2\sigma^2}}.

La sua funzione di ripartizione è

F(z)=1-e^{-\frac{z^2}{2\sigma^2}}.

La variabile aleatoria kZ=\sqrt{(kX)^2+(kY)^2} segue la distribuzione di Rayleigh di parametro k^2\sigma^2.

Caratteristiche[modifica | modifica wikitesto]

La variabile aleatoria Z con distribuzione di Rayleigh di parametro \sigma^2 ha

\mu_n=E[Z^n]=(2\sigma^2)^\frac{n}{2}\Gamma(1+\tfrac{n}{2})

dove \Gamma è la funzione Gamma, con \Gamma(\tfrac{n}{2}+1)=\tfrac{n}{2}! se n è pari.

In particolare si ottengono

E[X]=\sqrt{\tfrac{\pi}{2}\sigma^2};
\text{Var}(X)=E[X^2]-E[X]^2=2\sigma^2-\tfrac{\pi}{2}\sigma^2=\tfrac{4-\pi}{2}\sigma^2;
\gamma_1=\frac{2\sqrt{\pi}{\pi-3}}{(4-\pi)^\frac{3}{2}}\approx 0,631 e \gamma_2=-2\frac{3\pi^2-12\pi+8}{(4-\pi)^2}\approx0,245.

I quantili q_\alpha di ordine \alpha sono

q_\alpha=\sqrt{2\sigma^2\log\frac{1}{1-\alpha}};

in particolare

Statistica[modifica | modifica wikitesto]

Secondo il metodo della massima verosimiglianza lo stimatore del parametro \sigma^2 di n variabili aleatorie indipendenti con medesima distribuzione di Rayleigh è

S^2=\frac{X_1^2+...+X_n^2}{2n}.

Altre distribuzioni[modifica | modifica wikitesto]

Se Z=\sqrt{X^2+Y^2} segue la distribuzione di Rayleigh di parametro \sigma^2 allora (Z/\sigma)^2 segue la distribuzione chi quadrato \chi^2(2), ovvero la distribuzione esponenziale \mathcal{E}(\tfrac{1}{2}).

La distribuzione di Maxwell-Boltzmann estende a tre dimensioni la distribuzione di Rayleigh, descrivendo la distanza \sqrt{X^2+Y^2+Z^2} dall'origine di un vettore (X,Y,Z) nello spazio euclideo a tre dimensioni, le cui coordinate siano indipendenti e seguano la medesima legge normale centrata.

La distribuzione di Rice generalizza invece la posizione del punto (X,Y), prendendo X e Y non centrate.

Anche la distribuzione di Weibull è una generalizzazione della distribuzione di Rayleigh, che interpola con la distribuzione esponenziale.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica