Distribuzione generalizzata dei valori estremi

In teoria della probabilità la distribuzione generalizzata dei valori estremi, o distribuzione di Fisher-Tippett, è una famiglia di distribuzioni di probabilità che raccoglie le distribuzioni di Fréchet, di Weibull e di Gumbel (come caso al limite).

Questa famiglia è comune nella teoria dei valori estremi, dove descrive il limite dei massimi $M_n=\max\{X_1,X_2,...,X_n\}$ in una successione di variabili aleatorie indipendenti, secondo il teorema dei valori estremi.

Il secondo nome con cui è conosciuta deriva dagli statistici britannici Fisher e Tippett.

Definizione

Una distribuzione generalizzata dei valori estremi è caratterizzata da tre parametri reali, $(\mu,\sigma,\xi)$, con $\sigma>0$ e $\xi\neq 0$; il suo supporto dipende dai valori dei parametri.

La sua funzione di ripartizione è definita per i valori di $x$ che soddisfano

$1+\xi\frac{x-\mu}{\sigma}>0$

come

$F(x)=e^{ -\left(1+\xi\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{-\frac{1}{\xi}} }$.

Classificazione

Prendendo

$a=\mu-\frac{\sigma}{\xi},\qquad b=\frac{\sigma}{\xi},\qquad c=\frac{1}{\xi}$,

la funzione di ripartizione può essere scritta come

$F(x)=e^{-(\tfrac{x-a}{b})^{-c}}$.

Distribuzione di Fréchet

Per $\xi>0$ la distribuzione è una distribuzione di Fréchet generalizzata di parametri $(a,b,c)$

Distribuzione di Weibull

Per $\xi<0$ la distribuzione "riprende" una distribuzione di Weibull generalizzata di parametri $(a,b,-c)$, descrivendone la funzione di sopravvivenza. Più precisamente le due distribuzioni descrivono due variabili aleatorie opposte, $X$ e $-X$.

Distribuzione di Gumbel

Per $\xi=0$ la distribuzione non è definita, ma al limite $\xi\to 0$ si ottiene

$\lim_{\xi\to 0}F_\xi(x)=e^{-e^{-\frac{x-\mu}{\sigma}}}$,

che corrisponde alla distribuzione di Gumbel.

Voci correlate

• Distribuzione di Fréchet
• Distribuzione di Gumbel
• Distribuzione di Weibull

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