Distribuzione generalizzata dei valori estremi

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In teoria della probabilità la distribuzione generalizzata dei valori estremi, o distribuzione di Fisher-Tippett, è una famiglia di distribuzioni di probabilità che raccoglie le distribuzioni di Fréchet, di Weibull e di Gumbel (come caso al limite).

Questa famiglia è comune nella teoria dei valori estremi, dove descrive il limite dei massimi M_n=\max\{X_1,X_2,...,X_n\} in una successione di variabili aleatorie indipendenti, secondo il teorema dei valori estremi.

Il secondo nome con cui è conosciuta deriva dagli statistici britannici Fisher e Tippett.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Una distribuzione generalizzata dei valori estremi è caratterizzata da tre parametri reali, (\mu,\sigma,\xi), con \sigma>0 e \xi\neq 0; il suo supporto dipende dai valori dei parametri.

La sua funzione di ripartizione è definita per i valori di x che soddisfano

1+\xi\frac{x-\mu}{\sigma}>0

come

F(x)=e^{ -\left(1+\xi\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{-\frac{1}{\xi}} }.

Classificazione[modifica | modifica wikitesto]

Prendendo

a=\mu-\frac{\sigma}{\xi},\qquad b=\frac{\sigma}{\xi},\qquad c=\frac{1}{\xi},

la funzione di ripartizione può essere scritta come

F(x)=e^{-(\tfrac{x-a}{b})^{-c}}.
Distribuzione di Fréchet

Per \xi>0 la distribuzione è una distribuzione di Fréchet generalizzata di parametri (a,b,c)

Distribuzione di Weibull

Per \xi<0 la distribuzione "riprende" una distribuzione di Weibull generalizzata di parametri (a,b,-c), descrivendone la funzione di sopravvivenza. Più precisamente le due distribuzioni descrivono due variabili aleatorie opposte, X e -X.

Distribuzione di Gumbel

Per \xi=0 la distribuzione non è definita, ma al limite \xi\to 0 si ottiene

\lim_{\xi\to 0}F_\xi(x)=e^{-e^{-\frac{x-\mu}{\sigma}}},

che corrisponde alla distribuzione di Gumbel.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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