Distribuzione di Fréchet

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Distribuzione di Fréchet
Funzione di densità di probabilità
Funzione di ripartizione
Parametri \alpha>0\
Supporto ]0,\infty[\
Funzione di densità \alpha x^{-1-\alpha}e^{-x^{-\alpha}}\
Funzione di ripartizione e^{-x^{-\alpha}}\
Valore atteso \Gamma\left(1-\frac{1}{\alpha}\right) se \alpha>1
(con \Gamma la funzione Gamma)
Mediana \left(\frac{1}{\log 2}\right)^\frac{1}{\alpha}
Moda \left(\frac{\alpha}{\alpha+1}\right)^\frac{1}{\alpha}
Varianza \Gamma(1-\tfrac{2}{\alpha})-\big(\Gamma(1-\tfrac{1}{\alpha})\big)^2 se \alpha>2
(con \Gamma la funzione Gamma)
Indice di asimmetria
Curtosi
Entropia
Funzione generatrice dei momenti
Funzione caratteristica

In teoria delle probabilità la distribuzione di Fréchet è una distribuzione di probabilità continua definita sui numeri reali positivi.

Prende il nome dal matematico francese Maurice René Fréchet, che la descrisse nel 1927.[1]

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La distribuzione di Fréchet di parametro \alpha>0 è definita sui reali positivi (x>0) con funzione di ripartizione

F(x)=e^{-x^{-\alpha}};

la sua funzione di densità di probabilità è

f(x)=\alpha x^{-\alpha-1} e^{-x^{-\alpha}}.

Caratteristiche[modifica | modifica wikitesto]

La distribuzione di Fréchet di parametro \alpha ha momenti semplici

\mu_k=\int_0^\infty x^k f(x)dx=\int_0^\infty t^{-\frac{k}{\alpha}}e^{-t}dt,

(con t=x^{-\alpha}) definiti solo per k<\alpha:

\mu_k=\Gamma\left(1-\frac{k}{\alpha}\right) se ,

dove \Gamma è la funzione Gamma.

In particolare una variabile aleatoria con questa distribuzione

I quantili q_a di ordine a si esprimono tramite l'inversa della funzione di ripartizione,

q_a=F^{-1}(a)=\left(\frac{1}{\log \tfrac{1}{a}}\right)^\frac{1}{\alpha}.

In particolare la mediana è

q_{1/2}=(\tfrac{1}{\log 2})^\frac{1}{\alpha}.

La moda della distribuzione è \left(\frac{\alpha}{\alpha+1}\right)^\frac{1}{\alpha}.

Altre distribuzioni[modifica | modifica wikitesto]

La distribuzione di Fréchet può essere generalizzata tramite altri due parametri, \mu e \sigma, descrivendo una variabile aleatoria \tfrac{X-\mu}{\sigma} al posto di X; la funzione di ripartizione corrispondente è

F(x)=e^{-(\frac{x-\mu}{\sigma})^{-\alpha}}.

La distribuzione di Fréchet è una distribuzione generalizzata dei valori estremi, una famiglia di distribuzioni di probabilità che descrive anche la distribuzione di Weibull e, come caso limite, la distribuzione di Gumbel.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (FR) Fréchet, M., Sur la loi de probabilité de l'écart maximum in Ann. Soc. Polon. Math., vol. 6, 1927, pp. 93-116.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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