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In statistica e in teoria della probabilità, la covarianza di due variabili statistiche o variabili aleatorie è un numero che fornisce una misura di quanto le due varino assieme, ovvero della loro dipendenza.
Probabilità
Definizione
La covarianza di due variabili aleatorie e è il valore atteso dei prodotti delle loro distanze dalla media:
La covarianza di e può anche essere espressa come la differenza tra il valore atteso del loro prodotto e il prodotto dei loro valori attesi:
Infatti per la linearità del valore atteso risulta
Proprietà
La covarianza rispetta le seguenti proprietà, per variabili aleatorie , e , e costanti e :
Due variabili aleatorie indipendenti hanno covarianza nulla, poiché dalla loro indipendenza segue
Due variabili aleatorie che hanno covarianza nulla sono incorrelate.
Due variabili aleatorie dipendenti possono essere incorrelate. Ad esempio, se è una variabile aleatoria di legge uniforme sull'intervallo e , allora
Varianza
La covarianza può essere considerata una generalizzazione della varianza
e compare come termine di correzione nella relazione
Più in generale, per variabili aleatorie e vale
come caso particolare di
Statistica
In statistica la covarianza di due variabili statistiche e , indicata come , è un indice di variabilità congiunta.
Su una popolazione di osservazioni congiunte , di rispettive medie e , la covarianza osservata è
Uno stimatore della covarianza su un campione di osservazioni congiunte è
La varianza e la covarianza intervengono per definire l'indice di correlazione di Bravais-Pearson
Voci correlate
Collegamenti esterni