Moltiplicazione complessa

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In matematica la moltiplicazione complessa (spesso abbreviato con CM, cioè Complex Multiplication) è la teoria delle curve ellittiche che hanno anello degli endomorfismi strettamente più grande di \mathbb{Z} ed è anche la teoria delle varietà abeliane che hanno abbastanza endomorfismi in un senso più specifico (informalmente se l'azione dello spazio tangente sull'elemento identità della varietà abeliana è una somma diretta di moduli di dimensione uno).

La moltiplicazione complessa è un tema centrale in teoria algebrica dei numeri poiché permette ad alcune caratteristiche della teoria dei campi ciclotomici di essere riportate a una più ampia area di applicazione.

David Hilbert ha detto di aver osservato che la teoria della moltiplicazione complessa delle curve ellittiche non è solo una delle parti più belle della matematica, ma di tutta la scienza.

CM per curve ellittiche[modifica | modifica sorgente]

L'anello degli endomorfismi di una curva ellittica può essere isomorfo solamente a una delle seguenti tre strutture algebriche: l'anello degli interi \mathbb{Z}, un ordine di un campo quadratico immaginario, un ordine in un'algebra di quaternioni su \mathbb{Q}[1]. Gli endomorfismi corrispondenti agli elementi di \mathbb{Z} sono spesso detti in questo contesto endomorfismi banali, in quanto li hanno tutte le curve ellittiche.

Se il campo su cui è definita la curva ellittica è un campo finito il primo caso non può accadere, quindi tale curva ha sempre moltiplicazione complessa, quindi tale nozione diventa poco significativa e spesso non si usa tale terminologia in questo contesto. I morfismi non banali provengono dall'endomorfismo di Frobenius.

Se il campo su cui è definita la curva ellittica ha caratteristica zero (per esempio \mathbb{C} o \mathbb{Q} o un generico campo di numeri) allora l'ultimo caso non può accadere e quindi il fatto che una curva ellittica abbia CM è atipico e risulta spesso interessante. Poiché in caratteristica zero l'anello degli endomorfismi di una curva ellittica può essere solo \mathbb{Z} o un ordine di un campo quadratico immaginario, se una curva ellittica ha CM vuol dire che ha endomorfismi corrispondenti ad alcuni numeri complessi, precisamente a quelli compresi in tale ordine, e da qui viene l'uso del termine moltiplicazione complessa.

Esempio[modifica | modifica sorgente]

Sia E la curva ellittica definita su \mathbb{C}

E:y^2=x^3-x

allora l'anello degli endomorfismi di E è isomorfo a l'anello degli interi di Gauss \mathbb{Z}[i] dove l'endomorfismo [n], con n in \mathbb{Z}, è la somma di un punto con se stesso n volte secondo la legge di gruppo della curva se n è positivo e dell'opposto del punto se n è negativo, e l'endomorfismo [i] è definito da

[i]:(x,y) \mapsto (-x,iy)

Quindi E ha CM e ogni suo endomorfismo è della forma [m]+[n]\circ [i], con m e n interi.

Il precedente esempio funziona se E è definita su un qualunque campo K con caratteristica diversa da due, ma il morfismo [i] è definito se e solo se i\in K, in caso contrario E non ha CM.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Joseph H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Graduate Texts in Mathematics, vol. 106, Springer-Verlag, 1986. ISBN 0-387-96203-4, Zbl 0585.14026.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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