Moltiplicazione complessa

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In matematica la moltiplicazione complessa (spesso abbreviato con CM, cioè Complex Multiplication) è la teoria delle curve ellittiche che hanno anello degli endomorfismi strettamente più grande di ed è anche la teoria delle varietà abeliane che hanno abbastanza endomorfismi in un senso più specifico (informalmente se l'azione dello spazio tangente sull'elemento identità della varietà abeliana è una somma diretta di moduli di dimensione uno).

La moltiplicazione complessa è un tema centrale in teoria algebrica dei numeri poiché permette ad alcune caratteristiche della teoria dei campi ciclotomici di essere riportate a una più ampia area di applicazione.

David Hilbert ha detto di aver osservato che la teoria della moltiplicazione complessa delle curve ellittiche non è solo una delle parti più belle della matematica, ma di tutta la scienza.

CM per curve ellittiche[modifica | modifica wikitesto]

L'anello degli endomorfismi di una curva ellittica può essere isomorfo solamente a una delle seguenti tre strutture algebriche: l'anello degli interi , un ordine di un campo quadratico immaginario, un ordine in un'algebra di quaternioni su [1]. Gli endomorfismi corrispondenti agli elementi di sono spesso detti in questo contesto endomorfismi banali, in quanto li hanno tutte le curve ellittiche.

Se il campo su cui è definita la curva ellittica è un campo finito il primo caso non può accadere, quindi tale curva ha sempre moltiplicazione complessa, quindi tale nozione diventa poco significativa e spesso non si usa tale terminologia in questo contesto. I morfismi non banali provengono dall'endomorfismo di Frobenius.

Se il campo su cui è definita la curva ellittica ha caratteristica zero (per esempio o o un generico campo di numeri) allora l'ultimo caso non può accadere e quindi il fatto che una curva ellittica abbia CM è atipico e risulta spesso interessante. Poiché in caratteristica zero l'anello degli endomorfismi di una curva ellittica può essere solo o un ordine di un campo quadratico immaginario, se una curva ellittica ha CM vuol dire che ha endomorfismi corrispondenti ad alcuni numeri complessi, precisamente a quelli compresi in tale ordine, e da qui viene l'uso del termine moltiplicazione complessa.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Sia la curva ellittica definita su

allora l'anello degli endomorfismi di è isomorfo a l'anello degli interi di Gauss dove l'endomorfismo , con in , è la somma di un punto con se stesso volte secondo la legge di gruppo della curva se è positivo e dell'opposto del punto se è negativo, e l'endomorfismo è definito da

Quindi ha CM e ogni suo endomorfismo è della forma , con e interi.

Il precedente esempio funziona se è definita su un qualunque campo con caratteristica diversa da , ma il morfismo è definito se e solo se , in caso contrario non ha CM.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Joseph H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Graduate Texts in Mathematics, vol. 106, Springer-Verlag, 1986, ISBN 0-387-96203-4, Zbl 0585.14026.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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