Forma modulare

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In matematica, una forma modulare è una funzione olomorfa sul semipiano superiore complesso che verifica un'equazione funzionale rispetto all'azione di particolari sottogruppi del gruppo modulare e che soddisfa alcune condizioni di crescita.

La teoria delle forme modulari è parte dell'analisi complessa ma le sue applicazioni principali sono nell'ambito della teoria dei numeri. Le forme modulari compaiono anche in altre aree della matematica e della fisica teorica, come la topologia algebrica e la teoria delle stringhe.

La teoria delle forme modulari è un caso particolare della più generale teoria delle forme automorfe.

Descrizione informale[modifica | modifica wikitesto]

Le forme modulari sono oggetti matematici con infiniti gradi di simmetria (rotazione, traslazione). La caratteristica principale delle forme modulari (che determina poi gli infiniti gradi di simmetria) è che esse sono espresse attraverso quattro dimensioni, le cui coordinate sono date da numeri complessi. Infatti se ad un oggetto comune (come un quadrato) corrispondono due dimensioni , ad una forma modulare corrispondono sì due dimensioni, ma a ciascuna di queste corrisponde un piano complesso, ovvero un piano definito da un asse reale e uno immaginario; avremo quindi il piano e . Questo rende impossibile disegnare il grafico di una forma modulare.

Forme modulari per SL2(Z)[modifica | modifica wikitesto]

Una forma modulare di peso per il gruppo

è una funzione definita sul semipiano superiore complesso a valori nell'insieme dei numeri complessi che soddisfa tre condizioni:

(1) è una funzione olomorfa su ;
(2) per ogni in e per ogni matrice in vale
(3) è olomorfa alla cuspide, cioè deve essere olomorfa per (cioè per ). Il termine cuspide è dovuto agli aspetti geometrici della teoria.

Il peso è solitamente un numero intero e l'insieme delle forme modulari di peso rispetto a è uno spazio vettoriale su e si indica con .

La seconda condizione, detta anche condizione di modularità debole, può essere riformulata. Siano

Poiché le matrici e generano il gruppo , allora la seconda condizione è equivalente alle due equazioni seguenti:

Dall'ultima delle due precedenti equazioni segue che le forme modulari sono funzioni periodiche di periodo 1 e ammettono quindi sviluppo in serie di Fourier. Da questo segue che per dispari solo la funzione costantemente nulla soddisfa la seconda condizione.

A volte, invece di , si considera il gruppo modulare, cioè , poiché così l'azione su è fedele.

Sviluppo in serie di Fourier[modifica | modifica wikitesto]

Dalla condizione di periodicità delle forme modulari, segue che per ogni forma modulare esiste uno sviluppo in serie di Fourier

dove . I coefficienti sono detti coefficienti di Fourier di e lo sviluppo in serie è detto spesso, in questo contesto, -sviluppo in serie di .

Forme cuspidali[modifica | modifica wikitesto]

Una forma cuspidale di peso è una forma modulare di peso che alle tre precedenti condizioni aggiunge quella ulteriore di "annullarsi alla cuspide", cioè

(4)

dove è il primo coefficiente del -sviluppo di . L'insieme delle forme cuspidali è un -sottospazio vettoriale dello spazio delle forme modulari e si indica con .

Condizioni di crescita[modifica | modifica wikitesto]

La condizione (3) della definizione di forma modulare è equivalente alla seguente condizione di crescita sui coefficienti del -sviluppo di una funzione definita sul semipiano superiore complesso a valori nei numeri complessi che soddisfa le precedenti condizioni (1) e (2)

(3') esistono due costanti positive e tali che per ogni .

Questa condizione risulta fondamentale per generalizzare il concetto di forma cuspidale al contesto delle forme automorfe.

Formule della dimensione[modifica | modifica wikitesto]

Utilizzando la teoria delle superfici di Riemann e il teorema di Riemann-Roch è possibile calcolare la dimensione degli spazi vettoriali delle forme modulari e cuspidali di peso . Dato intero, si ha

dove è la funzione parte intera.

La L-serie e il legame con le curve ellittiche[modifica | modifica wikitesto]

Ad ogni forma modulare è possibile associare una L-serie. Grazie al teorema di Taniyama-Shimura dimostrato da Andrew Wiles, sappiamo che ad ogni L-serie di una curva ellittica corrisponde una L-serie di una forma modulare.

Le dimostrazioni conseguenti[modifica | modifica wikitesto]

Sulla corrispondenza tra curve ellittiche e forme modulari si basa (tra le altre) anche la dimostrazione dell'Ultimo teorema di Fermat, completata da Wiles nel 1995.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) F. Diamond e J. Shurman (2005), A First Course in Modular Forms, Graduate Texts in Mathematics 228 Springer, New York, ISBN 0-387-23229-X.
  • (EN) T. Miyake (1989), Modular Forms, Springer-Verlag, Berlino Heidelberg.
  • (EN) Goro Shimura (1971), Introduction To The Arithmetic Theory Of Automorphic Functions, Iwanami Shoten and Princeton University Press.
  • (EN) R. Gunning (1962), Lectures on Modular Forms, Princeton University Press: Princeton, New Jersey.
  • (EN) T. M. Apostol (1976), Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Springer-Verlag, New York.
  • Singh, S. (1999), L'ultimo teorema di Fermat, Biblioteca Universale Rizzoli, ISBN 88-17-11291-7.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]


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