Serie di Eisenstein

In matematica, le serie di Eisenstein sono delle forme modulari definite da serie esplicite. Il loro nome deriva dal matematico tedesco Gotthold Eisenstein.

Le serie di Eisenstein sono state inizialmente definite per il gruppo modulare, ma sono state successivamente generalizzate al contesto delle forme automorfe.

Definizione

La serie di Eisenstein olomorfa di peso 2k, con k>1 intero, è la serie

$G_{2k}(\tau )=\sum _{\underset {(m,n)\neq (0,0)}{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}}}{\frac {1}{(m\tau +n)^{2k}}},$

con $\tau \in {\mathcal {H}}$. Questa serie è assolutamente convergente su tutto il semipiano superiore complesso ${\mathcal {H}}$ ad una funzione olomorfa in $\tau$ e converge uniformemente su ogni sottoinsieme compatto di ${\mathcal {H}}$. La serie di Eisenstein $G_{2k}$ è una forma modulare di peso 2k per il gruppo modulare.

Serie di Fourier

In quanto forma modulare, le serie di Eisenstein ammettono sviluppo in serie di Fourier. Esso è

$G_{2k}(\tau )=2\zeta (2k)+2{\frac {(2\pi i)^{k}}{(k-1)!}}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{k-1}(n)q^{n},$

dove $\zeta (2k)$ è la funzione zeta di Riemann, $q=e^{2\pi i\tau }$ e $\sigma _{k-1}(n)$ è la funzione aritmetica sigma generalizzata delle potenze k-1-esime dei divisori di n.

Spesso si preferisce utilizzare le serie di Eisenstein normalizzate (cioè con primo coefficiente dello sviluppo in serie di Fourier uguale a uno). Per esse si usa la notazione

$E_{2k}(\tau )={\frac {G_{2k}(\tau )}{2\zeta (2k)}}=1+{\frac {2}{\zeta (1-2k)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2k-1}q^{n}}{1-q^{n}}}.$

Bibliografia

• (EN) F. Diamond e J. Shurman (2005), A First Course in Modular Forms, Graduate Texts in Mathematics 228 Springer, New York, ISBN 0-387-23229-X.
• (EN) T. Miyake (1989), Modular Forms, Springer-Verlag, Berlino Heidelberg.
• (EN) Gorō Shimura (1971), Introduction To The Arithmetic Theory Of Automorphic Functions, Iwanami Shoten and Princeton University Press.
• (EN) R. Gunning (1962), Lectures on Modular Forms, Princeton University Press: Princeton, New Jersey.
• (EN) T. M. Apostol (1976), Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Springer-Verlag, New York.

Voci correlate

• Forma modulare