Gruppo modulare

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In matematica, il gruppo modulare è un oggetto fondamentale di studio in teoria dei numeri, geometria, algebra e in molte altre aree della matematica. Il gruppo modulare può essere rappresentato come un gruppo di trasformazioni geometriche o come un gruppo di matrici.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Il gruppo modulare è il gruppo delle trasformazioni lineari fratte del semipiano complesso superiore che hanno la forma

dove , , e sono interi e . L'operazione di gruppo è la composizione di funzioni. Gli elementi del gruppo sono detti trasformazioni modulari.

Questo gruppo di trasformazioni è isomorfo al gruppo lineare speciale quozientato con il suo centro , dove è la matrice identità. Ciò equivale a dire che il gruppo modulare è isomorfo al gruppo speciale lineare proiettivo , che consiste nelle matrici

dove , , e sono interi, e le matrici e sono considerate uguali.

Presentazione[modifica | modifica wikitesto]

Le trasformazioni

generano il gruppo modulare, cioè ogni elemento di può essere scritto (in modo non unico) come la composizione di potenze di e .

Geometricamente rappresenta l'inversione rispetto alla circonferenza unitaria seguita dalla riflessione rispetto alla retta , mentre rappresenta la traslazione unitaria a destra.

I generatori e soddisfano le relazioni e . Si dimostra[1] che queste sono un insieme completo di relazioni, quindi il gruppo modulare ha presentazione

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Robert C. Gunning, Lectures on Modular Forms, Princeton, NJ, Princeton University Press, 1962, pp. 5-7, ISBN 978-0-691-07995-0.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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