Trasformazione di Möbius

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In geometria, una trasformazione di Möbius è una funzione

dove e sono numeri complessi con .

La funzione è definita sulla sfera di Riemann, ed è un ingrediente fondamentale della geometria proiettiva e dell'analisi complessa. Si usano anche i termini trasformazione omografica e trasformazione lineare fratta. Il nome è legato al matematico August Ferdinand Möbius.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Una trasformazione di Möbius è una funzione

definita sulla sfera di Riemann

della forma

con determinante diverso da zero

Automorfismi della sfera di Riemann[modifica | modifica wikitesto]

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

La condizione sul determinante è necessaria affinché la funzione sia effettivamente definita su tutta la sfera di Riemann. Valgono in particolare le relazioni

Rappresentazione tramite matrici[modifica | modifica wikitesto]

La trasformazione è determinata dalla matrice

Poiché ha determinante non nullo, la matrice è invertibile. Quindi è un elemento del gruppo generale lineare composto da tutte le matrici complesse invertibili .

La rappresentazione tramite matrici è molto comoda, in virtù del fatto seguente: la composizione di due trasformazioni di Möbius, descritte dalle matrici e , è anch'essa una trasformazione di Möbius, descritta dalla matrice .

Automorfismo[modifica | modifica wikitesto]

La descrizione tramite matrici mostra che ogni trasformazione di Möbius è una funzione biettiva dalla sfera di Riemann in sé. Infatti, una trasformazione associata alla matrice ha una inversa, associata alla matrice inversa .

Per questo motivo una trasformazione di Möbius è chiamata automorfismo. Le trasformazioni di Möbius formano un gruppo, indicato con

Struttura di gruppo[modifica | modifica wikitesto]

La rappresentazione matriciale fornisce un omomorfismo di gruppi

L'omomorfismo è suriettivo ma non iniettivo: il nucleo consiste infatti di tutte le matrici della forma , dove è la matrice identità e è un numero complesso. Il primo teorema d'isomorfismo fornisce quindi un isomorfismo di gruppi

dove se e solo se per qualche . Il quoziente è indicato con una "P" davanti, perché questa costruzione è identica a quella dello spazio proiettivo di uno spazio vettoriale.

Proprietà basilari[modifica | modifica wikitesto]

Trasformazioni elementari[modifica | modifica wikitesto]

Ogni automorfismo di Möbius è ottenuto componendo alcune trasformazioni elementari di questo tipo:

  1.      (traslazione)
  2.         (inversione)
  3.           (omotetia e rotazione)

La traslazione tiene fisso il punto all'infinito e trasla tutti i punti del piano complesso. L'inversione scambia i punti e . A proposito della terza trasformazione, scrivendo in coordinate polari

si verifica che è una rotazione di angolo , composta con una omotetia di fattore .

Mappe conformi[modifica | modifica wikitesto]

Un automorfismo di Möbius è una mappa conforme, una mappa cioè che preserva gli angoli. Infatti, ciascuna delle trasformazioni elementari descritte preserva gli angoli. Un automorfismo però non preserva lunghezze o aree.

Rette e circonferenze[modifica | modifica wikitesto]

L'inversione manda l'infinito in zero, e quindi le rette (che sono circonferenze passanti per l'infinito) in circonferenze e rette passanti per l'origine.

Una circonferenza nella sfera di Riemann è una circonferenza di , oppure una retta di completata con il punto all'infinito.

L'immagine di una circonferenza tramite una funzione di Möbius è un'altra circonferenza. Le trasformazioni di Möbius mandano quindi circonferenze in circonferenze.

Questa proprietà è verificata dalle trasformazioni elementari (traslazioni, inversioni, rotazioni, omotetie), e per questo motivo è verificata da qualsiasi trasformazione.

Birapporto[modifica | modifica wikitesto]

Una trasformazione di Möbius preserva il birapporto di quattro punti della sfera di Riemann. Vale cioè la relazione

Funzione meromorfa[modifica | modifica wikitesto]

Con il linguaggio dell'analisi complessa, un automorfismo di Möbius è una particolare funzione meromorfa, avente un polo in di ordine 1.

Trasformazione proiettiva[modifica | modifica wikitesto]

Con il linguaggio della geometria proiettiva, la sfera di Riemann è identificata con la retta proiettiva complessa tramite la mappa

Con questa identificazione, le trasformazioni di Möbius sono esattamente gli isomorfismi proiettivi della retta proiettiva complessa.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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