Problema di Galois inverso

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In matematica, il problema di Galois inverso consiste nel determinare quali gruppi G siano gruppi di Galois di qualche estensione di Galois di un fissato campo F (se questa estensione esiste, si dice che G è realizzabile su F). Sebbene studiato da almeno un secolo, ad oggi (febbraio 2012) tale problema non è ancora risolto nella sua generalità.

La congettura principale in questo campo è che ogni gruppo finito sia il gruppo di Galois di qualche polinomio a coefficienti razionali.

È detto problema inverso in relazione al problema "usuale" della teoria di Galois, che richiede di determinare il gruppo di Galois di una data estensione di campi.

Casi particolari[modifica | modifica wikitesto]

Sono noti diversi risultati al problema in casi particolari.

Campi finiti[modifica | modifica wikitesto]

Il problema di Galois inverso è in particolare completamente risolto per i campi finiti: infatti il gruppo di Galois di \mathbb{F}_{p^n} su \mathbb{F}_p è sempre ciclico, generato dall'automorfismo di Frobenius, e quindi anche il gruppo di Galois di \mathbb{F}_{p^n} su \mathbb{F}_{p^m} (che, per il teorema fondamentale della teoria di Galois, è un suo quoziente) è ciclico.

Gruppi abeliani[modifica | modifica wikitesto]

Leopold Kronecker ha dimostrato che ogni gruppo abeliano è il gruppo di Galois di qualche estensione del campo dei razionali \mathbb{Q}; la sua dimostrazione in realtà ne fornisce anche una costruzione esplicita, a partire dalle proprietà degli amplicamenti generati dai polinomi ciclotomici e sfruttando il teorema di Dirichlet sull'esistenza di infiniti numeri primi nelle progressioni aritmetiche e la classificazione dei gruppi abeliani finiti.

Secondo questo infatti, un gruppo abeliano è isomorfo ad un prodotto diretto di gruppi ciclici, ognuno dei quali può essere realizzato come gruppo di Galois di un'estensione contenuta in un \mathbb{Q}(\xi_p) (dove quest'ultima è una radice dell'unità), dove p è un primo congruo a 1 modulo n (con n ordine del gruppo che andiamo a considerare). L'esistenza di infiniti numeri primi congrui a 1 modulo t per ogni t garantisce la possibilità di scegliere per ogni fattore un primo distinto,; il campo cercato sarà allora il più piccolo campo (cioè il composto) di tutti i campi trovati a partire dai fattori.

Altri risultati[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema di irriducilità di Hilbert (dimostrato da David Hilbert) implica che per realizzare un gruppo di Galois sui razionali è sufficiente realizzarlo su un campo \mathbb{Q}(X_1,X_2,\ldots,X_n). Questo ha portato alla dimostrazione che i gruppi simmetrici e i gruppi alterni sono gruppi di Galois su \mathbb{Q}.

Tutti i gruppi semplici, ad eccezione del gruppo di Mathieu M23 sono stati realizzati come gruppi di Galois su \mathbb{Q}.[1]

Nel 1954 Igor' Šafarevič ha dimostrato con metodi della teoria dei numeri che tutti i gruppi risolubili sono gruppi di Galois di un'estensione dei razionali.

Importanza del campo base[modifica | modifica wikitesto]

Eliminando la richiesta di realizzare il gruppo su un campo fissato, il problema diventa semplice da risolvere: infatti il gruppo di Galois del campo delle funzioni razionali K=F(X_1,X_2,\ldots,X_n) sul campo delle funzioni simmetriche F(\sigma_1,\sigma_2,\ldots,\sigma_n) è il gruppo simmetrico Sn, e per il teorema di Cayley ogni gruppo finito è isomorfo ad un sottogruppo G di un gruppo simmetrico; quindi per il teorema fondamentale della teoria di Galois il gruppo di Galois di K sul campo fisso KG è isomorfo a G.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) Su OpenProblem Garden

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Stefania Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois, Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]