Monstrous moonshine

In matematica, la monstrous moonshine è la connessione inaspettata tra il gruppo mostro M e le funzioni modulari, in particolare, l'invariante j. L'osservazione numerica iniziale venne fatta da John McKay nel 1978, e la frase fu coniata nel 1979 da John Conway e Simon P. Norton.

Il monstrous moonshine è alla base di un'algebra degli operatori di vertice chiamata modulo moonshine costruito da Igor Frenkel, James Lepowsky e Arne Meurman nel 1988, che ha il gruppo mostro come gruppo di simmetrie. Questa algebra è comunemente interpretata come una struttura alla base di una teoria di campo conforme bidimensionale, consentendo alla fisica di formare un ponte tra due aree matematiche. Le congetture fatte da Conway e Norton furono dimostrate da Richard Borcherds per il modulo moonshine nel 1992 utilizzando il teorema no-ghost della teoria delle stringhe e della teoria delle algebre degli operatori di vertice e delle algebre generalizzate di Kac-Moody.

Storia

Nel 1978, John McKay notò come i primi termini della serie di Fourier dell'invariante J normalizzata (sequenza A014708 nell'OEIS),

$$J(\tau )={\frac {1}{q}}+196884{q}+21493760{q}^{2}+864299970{q}^{3}+20245856256{q}^{4}+\cdots$$

dove $q=e^{2i\pi \tau }$ e $\tau$ è il rapporto di semiperiodo possono essere espressi mediante combinazioni lineari delle dimensioni di rappresentazioni irriducibili $r_{n}$ del gruppo mostro M (sequenza A001379 nell'OEIS) con piccoli coefficienti non-negativi. Sia $r_{n}$ = 1, 196883, 21296876, 842609326, 18538750076, 19360062527, 293553734298, ... allora

$${\begin{aligned}1&=r_{1}\\196884&=r_{1}+r_{2}\\21493760&=r_{1}+r_{2}+r_{3}\\864299970&=2r_{1}+2r_{2}+r_{3}+r_{4}\\20245856256&=3r_{1}+3r_{2}+r_{3}+2r_{4}+r_{5}=2r_{1}+3r_{2}+2r_{3}+r_{4}+r_{6}\\333202640600&=5r_{1}+5r_{2}+2r_{3}+3r_{4}+2r_{5}+r_{7}=4r_{1}+5r_{2}+3r_{3}+2r_{4}+r_{5}+r_{6}+r_{7}\\\end{aligned}}$$

dove a sinistra si hanno i coefficienti di $j(\tau )$, mentre a destra gli interi $r_{n}$ sono le dimensioni delle rappresentazioni irriducibili del gruppo mostro M. (Siccome esistono diverse relazioni lineari tra gli $r_{n}$ come $r_{1}-r_{3}+r_{4}+r_{5}-r_{6}=0$, la rappresentazione potrebbe presentarsi in molteplici modi.) McKay vide questo come una prova che esiste una naturale rappresentazione graduata a dimensione infinita di M, la cui dimensione graduata è data dai coefficienti di J e i cui pezzi di peso inferiore si decompongono in rappresentazioni irriducibili come sopra. Dopo aver informato John G. Thompson di questa osservazione, Thompson suggerì che poiché la dimensione graduata è solo la traccia graduata dell'elemento identità, anche le tracce graduate degli elementi non banali g di M su tale rappresentazione potrebbero essere interessanti.

Conway e Norton calcolarono i termini di ordine inferiore di tali tracce graduate, ora noti come serie di McKay-Thompson T_g, e scoprirono che sembravano tutte espansioni di Hauptmoduln (curve modulari con genere nullo). In altre parole, se G_g è il sottogruppo di SL₂(R) che fissa T_g, allora il quoziente della semipiano complesso superiore per G_g è una sfera con un numero finito di punti rimossi, e inoltre T_g genera il campo di funzioni meromorfe su questa sfera.

Sulla base dei loro calcoli, Conway e Norton hanno prodotto una lista di Hauptmoduln e hanno congetturato l'esistenza di una rappresentazione graduata di dimensione infinita di M, le cui tracce graduate T_g sono le espansioni proprio delle funzioni sulla loro lista.

Nel 1980, A. Oliver L. Atkin, Paul Fong e Stephen D. Smith hanno prodotto una forte prova computazionale dell'esistenza di una tale rappresentazione graduata, scomponendo un gran numero di coefficienti di J in rappresentazioni di M. Una rappresentazione graduata la cui dimensione graduata è J , chiamato modulo moonshine, fu costruita esplicitamente da Igor Frenkel, James Lepowsky e Arne Meurman, fornendo una soluzione efficace alla congettura di McKay-Thompson, e determinarono anche le tracce graduate per tutti gli elementi nel centralizzatore di un'involuzione di M, risolvendo parzialmente la congettura di Conway-Norton. Inoltre, hanno dimostrato che lo spazio vettoriale che hanno costruito, chiamato Modulo Moonshine $V^{\natural }$ , ha la struttura addizionale di un'algebra di operatori di vertice, il cui gruppo di automorfismi è proprio M.

Nel 1985, l'Atlante dei gruppi finiti fu pubblicato da un gruppo di matematici, tra cui John Conway. L'Atlante, che enumera tutti i gruppi sporadici, includeva "Moonshine" come sezione nel suo elenco delle proprietà notevoli del gruppo mostro.

Borcherds ha dimostrato la congettura di Conway-Norton per il modulo Moonshine nel 1992. Ha vinto la medaglia Fields nel 1998 in parte per la sua soluzione della congettura.

Il modulo moonshine

la costruzione di Frenkel–Lepowsky–Meurman inizia con due strumenti principali:

1. La costruzione di un algebra degli operatori dei vertici di reticolo V_L per un reticolo L di grado n. In termini fisici, questa è l'algebra chirale per una stringa bosonica compattata su di un toro Rⁿ/L. Può essere descritta grossomodo come il prodotto tensoriale dell'anello di gruppo di L con la rappresentazione dell'oscillatore in n dimensioni (che è isomorfo all'anello dei polinomi in infiniti generatori). Per il caso in questione, si imposta L come reticolo di Leech, che ha grado 24.
2. La costruzione orbifold. In termini fisici, questo descrive una stringa bosonica che si propaga in un orbifold quoziente. La costruzione di Frenkel–Lepowsky–Meurman fu la prima volta in cui gli orbifold apparvero nella nella teoria dei campi conformi. Attaccato alla –1 involuzione del reticolo di Leech c'è un involuzione h di V_L e un V_L-modulo irriducibile h-contorto, che inerita un sollevamento ad involuzione h. Per ottenere il modulo moonshine, si prende il sottospazio di punti fissi di h nella somma diretta di V_L e il suo modulo contorto.

Frenkel, Lepowsky e Meurman hanno poi dimostrato che il gruppo di automorfismi del modulo moonshine, come algebra degli operatori di vertice, è M. Inoltre, hanno determinato che le tracce graduate degli elementi nel sottogruppo 2¹⁺²⁴.Co₁ corrispondono alle funzioni previste da Conway e Norton.

La dimostrazione di Borcherds

La dimostrazione di Richard Borcherds della congettura di Conway e Norton può essere suddivisa nei seguenti passaggi principali:

1. Si inizia con un'algebra degli operatori di vertice V con una forma bilineare invariante, un'azione di M mediante automorfismi e con la nota scomposizione degli spazi omogenei dei sette gradi inferiori in M-rappresentazioni irriducibili. Ciò è stato fornito dalla costruzione e analisi di Frenkel-Lepowsky-Meurman del modulo Moonshine.
2. Un'algebra di Lie ${\mathfrak {m}}$, chiamata la algebra di Lie mostro, è costruita da V utilizzando un funtore di quantizzazione. È un'algebra di Lie di di Kac-Moody generalizzata con un'azione mostro mediante automorfismi. Utilizzando il teorema "no-ghost" di Goddard-Thorn della teoria delle stringhe, si scopre che le molteplicità delle radici sono coefficienti di J.
3. Si utilizza l'identità del prodotto infinito Koike-Norton-Zagier per costruire un'algebra di Lie di Kac-Moody generalizzata mediante generatori e relazioni. L'identità viene dimostrata utilizzando il fatto che gli operatori di Hecke applicati a J producono polinomi in J.
4. Confrontando le molteplicità delle radici, si trova che le due algebre di Lie sono isomorfe e, in particolare, la formula del denominatore di Weyl per ${\mathfrak {m}}$ è precisamente l'identità di Koike-Norton-Zagier.
5. Utilizzando l'omologia dell'algebra di Lie e le operazioni di Adams, per ciascun elemento viene data un'identità di denominatore contorta. Queste identità sono legate alla serie di McKay-Thompson T_g più o meno allo stesso modo in cui l'identità Koike-Norton-Zagier è legata a J.
6. Le identità distorte del denominatore implicano relazioni di ricorsione sui coefficienti di T_g, e il lavoro inedito di Koike ha mostrato che le funzioni candidate di Conway e Norton soddisfacevano queste relazioni di ricorsione. Queste relazioni sono abbastanza forti che basta verificare che i primi sette termini coincidano con le funzioni fornite da Conway e Norton. I termini più bassi sono dati dalla scomposizione dei sette spazi omogenei di grado più basso dati nel primo passaggio.

La dimostrazione è quindi completata. Lavori più recenti hanno semplificato e chiarito gli ultimi passaggi della dimostrazione. Jurisich ha scoperto che il calcolo dell'omologia potrebbe essere sostanzialmente abbreviato sostituendo la consueta scomposizione triangolare dell'algebra di Lie mostro con una scomposizione in una somma di gl₂ e due algebre di Lie libere. Cummins e Gannon hanno dimostrato che le relazioni di ricorsione implicano automaticamente che le serie di McKay Thompson siano Hauptmoduln o terminino dopo al massimo 3 termini, eliminando così la necessità di calcolo nell'ultimo passaggio.

Origine del termine

Il termine "monstrous moonshine" fu coniato da Conway, il quale, quando John McKay gli disse alla fine degli anni '70 che il coefficiente di $q$ (ovvero 196884) era esattamente uno in più del grado della più piccola rappresentazione fedele e complessa del gruppo mostro (ovvero 196883), rispose che si trattava di "moonshine" (nel senso di essere un idea sciocca o pazza). Pertanto, il termine non si riferisce solo al gruppo mostro M; si riferisce anche alla follia dell'intricata relazione tra M e la teoria delle funzioni modulari.