Meccanica lagrangiana

In fisica e matematica, in particolare in meccanica razionale, la meccanica lagrangiana è una ri-formulazione della meccanica classica introdotta da Eulero e Joseph-Louis Lagrange nel diciottesimo secolo. Si tratta di un formalismo in cui le equazioni del moto sono ricavate a partire dal principio di minima azione e vengono scritte tramite le equazioni di Eulero-Lagrange per la funzione lagrangiana. Si applica a sistemi dinamici con vincoli olonomi.

La descrizione lagrangiana, particolarmente efficace nel caratterizzare il moto di un insieme di punti materiali soggetti a vincoli, è stata successivamente perfezionata e generalizzata da molti altri metodi tra cui Carl Gustav Jacob Jacobi (teoria di Hamilton-Jacobi) e William Rowan Hamilton, con la meccanica hamiltoniana.

Descrizione

Nell'ambito della meccanica lagrangiana si rappresenta un sistema di particelle tramite un set di coordinate generalizzate $q_{i}$ e le rispettive velocità ${\dot {q}}_{i}$. Lo spazio delle coppie $(q_{1},\dots ,q_{n},{\dot {q}}_{1}\dots ,{\dot {q}}_{n})$ rappresenta l'insieme delle posizioni che il sistema può assumere compatibilmente con i vincoli imposti.

In questo approccio la traiettoria del sistema non viene studiata a partire dalle forze agenti su di esso, come avviene nell'ambito tradizionale della dinamica newtoniana, ma è la soluzione di un problema variazionale in cui tra tutti i moti possibili il sistema percorre il cammino che minimizza (ne annulla la variazione) una funzione scalare detta azione, in accordo con il principio di minima azione (principio variazionale di Hamilton).

L'azione è data dall'integrale della lagrangiana ${\mathcal {L}}(q,{\dot {q}},t)$:

${\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}\,dt$

e dal principio di minima azione si possono ricavare (ad esempio sfruttando il lemma fondamentale del calcolo delle variazioni) le equazioni del moto per il sistema considerato; nello specifico ciò avviene sia risolvendo le equazioni talvolta dette "equazioni di Lagrange del primo tipo", che trattano esplicitamente i vincoli con equazioni aggiuntive (spesso mediante l'utilizzo dei moltiplicatori di Lagrange), sia le "equazioni di Lagrange del secondo tipo", ovvero le equazioni di Eulero-Lagrange, che incorporano l'azione dei vincoli con un'opportuna scelta delle coordinate generalizzate.

La lagrangiana classicamente è data dalla differenza tra l'energia cinetica e l'energia potenziale del sistema studiato, ma può anche avere una forma più generale, e si possono avere più lagrangiane per la stessa equazione del moto.

Il formalismo lagrangiano e il principio di minima azione sono strettamente legati al teorema di Noether, che collega quantità conservate del moto con le simmetrie continue dell'azione. Questo ambiente fornisce, inoltre, un formalismo naturale per la "prima quantizzazione", includendo commutatori tra determinati termini delle equazioni di Lagrange relative al moto di un sistema fisico.

Lo spazio delle configurazioni (coordinate generalizzate) con cui è rappresentato il sistema può essere una varietà differenziabile, detta varietà delle configurazioni.

Dalla meccanica newtoniana alla meccanica lagrangiana

Si consideri un sistema di n particelle in $\mathbb {R} ^{m}$, ognuna identificata da m coordinate generalizzate:

${\begin{array}{r c l}\mathbf {r} _{1}&=&\mathbf {r} _{1}(q_{1},q_{2},\cdots ,q_{m})\\\mathbf {r} _{2}&=&\mathbf {r} _{2}(q_{1},q_{2},\cdots ,q_{m})\\&\vdots &\\\mathbf {r} _{n}&=&\mathbf {r} _{n}(q_{1},q_{2},\cdots ,q_{m})\end{array}}$

dove ogni coordinata dipende dal tempo e la velocità di ogni particella è data dalla regola della catena:

$\mathbf {\dot {r}} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}$

Un'espressione per lo spostamento virtuale (infinitesimo) $\delta \mathbf {r} _{i}$ del sistema (per vincoli indipendenti dal tempo o dalla velocità) ha la stessa forma di un differenziale totale:

$\delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}$

Considerando il moto come determinato dall'applicazione di forze applicate $\mathbf {F} _{i}$ e forze inerziali $-m\mathbf {a} _{i}$, il principio di D'Alembert stabilisce che il loro lavoro virtuale $\delta W$ relativamente allo spostamento virtuale $\delta \mathbf {r} _{i}$ è dato da:

$\delta W=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i})\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}=0$

dove $\mathbf {a} _{i}$ sono le accelerazioni delle particelle. Questa espressione suggerisce che le forze applicate possono essere espresse come forze generalizzate $Q_{j}$. Dividendo per $\delta q_{j}$ si ottiene la definizione di forza generalizzata:

$Q_{j}={\frac {\delta W}{\delta q_{j}}}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}$

Se le forze $\mathbf {F} _{i}$ sono conservative, allora esiste un potenziale scalare (campo scalare) $V$ il cui gradiente è la forza:

$\mathbf {F} _{i}=-\nabla V$

allora si ha:

$Q_{j}=-\sum _{i=1}^{n}\nabla V\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}$

Ovvero, le forze generalizzate possono essere ridotte al gradiente di un potenziale scritto mediante le coordinate generalizzate. Il precedente risultato può essere anche ricavato notando che $V$ è una funzione di $\mathbf {r} _{i}$, che dipendono a loro volta da $q_{j}$, e applicando la regola della catena alla derivata di $V$ rispetto a $q_{j}$.

Energia cinetica

L'energia cinetica $T$ di un sistema di particelle $\mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}(q_{1},q_{2},\cdots ,q_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ è definita come:

$T={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}v_{i}^{2}$

con:

$v_{i}^{2}=\mathbf {\dot {r}} _{i}\cdot \mathbf {\dot {r}} _{i}$

dove:

$\mathbf {\dot {r}} _{i}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}$

Le derivate parziali di $T$ rispetto alle coordinate generalizzate $q_{j}$ e le velocità generalizzate ${\dot {q}}_{j}$ sono:

${\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {\dot {r}} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\dot {r}} _{i}}{\partial q_{j}}}\qquad {\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {\dot {r}} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\dot {r}} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}$

Facendo la derivata parziale rispetto a $q_{j}$ della velocità $\mathbf {\dot {r}} _{i}$ si ottiene:

${\frac {\partial \mathbf {\dot {r}} _{i}}{\partial {\dot {q_{j}}}}}={\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}$

Si ha allora:

$\quad {\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {\dot {r}} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}$

La derivata totale rispetto al tempo di tale equazione è:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {\ddot {r}} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}+\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {\dot {r}} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\dot {r}} _{i}}{\partial q_{j}}}=Q_{j}+{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}$

che conduce alle equazioni del moto generalizzate:

$Q_{j}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}$

che contengono le leggi di Newton.

Vincoli perfetti

I moti di un sistema vincolato si rappresentano considerando $N$ punti materiali in $\mathbb {R} ^{3}$, che costituiscono un sistema $\mathbf {x} =(\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{N})\in \mathbb {R} ^{3N}$ soggetto a $m$ vincoli olonomi $f$ (eventualmente dipendenti dal tempo $t$) che agiscono su di esso:

$\;f_{1}(\mathbf {x} ,t)=0,\dots ,f_{m}(\mathbf {x} ,t)=0$

Per ogni fissato istante di tempo queste relazioni definiscono una superficie (una varietà differenziabile $\,M_{t}$) immersa nello spazio euclideo 3N-dimensionale. In particolare, un sistema è soggetto a vincoli perfetti se $\forall \mathbf {x} \in M_{t}$ le reazioni vincolari sono in quell'istante $t$ ortogonali allo spazio tangente alla superficie $M_{t}$.

In termini di coordinate generalizzate $(q_{1},\dots ,q_{n},t)$ sulla superficie $M_{t}$, che ha dimensione $n=3N-m$, la condizione che il sistema $\mathbf {x} =\mathbf {x} (q_{1},\dots ,q_{n})$ sia soggetto a vincoli perfetti si traduce in:

$\mathbf {R} \cdot {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{j}}}=0$

dove $\mathbf {R} \in \mathbb {R} ^{3N}$ è il vettore che rappresenta tutte le reazioni vincolari cui ogni punto del sistema è soggetto.

La lagrangiana

La descrizione dei sistemi meccanici sviluppata dalla meccanica lagrangiana si basa sull'introduzione di una funzione, detta lagrangiana, data dalla differenza tra l'energia cinetica $T$ e l'energia potenziale $U$:

${\mathcal {L}}({\dot {q}},q,t)=T({\dot {q}},q,t)-U(q,t)$

Nel descrivere sistemi in cui l'energia si conserva la lagrangiana dipenda soltanto dalle coordinate $q$ e dalle loro derivate ${\dot {q}}$, in quanto il potenziale $U$ non dipende dal tempo (così come l'energia cinetica).

Equazioni di Lagrange del primo tipo

Le equazioni di Lagrange del primo tipo per un sistema di $n$ particelle con $C$ vincoli olonomi, dati dalle funzioni $F_{1},\dots ,F_{C}$, sono:

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r_{j}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r}}_{j}}}\right)+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial F_{i}}{\partial r_{j}}}=0$

dove $\lambda _{i}$ è un moltiplicatore di Lagrange e $j=1,\dots ,n$. Esiste un moltiplicatore di Lagrange per ogni vincolo.

Per analogia con la procedura matematica, si può scrivere anche:

${\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta r_{j}}}+\lambda {\frac {\partial F}{\partial r_{j}}}=0$

in cui:

${\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta r_{j}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r_{j}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r}}_{j}}}\right)$

denota la derivata variazionale.

Equazioni di Eulero-Lagrange

Le equazioni del moto di Eulero-Lagrange sono un sistema di euquazioni per ${\mathcal {L}}({\dot {q}},q,t)$ della forma:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}=0$

che forniscono una formulazione del secondo principio della dinamica. Infatti, scrivendo la lagrangiana come differenza tra l'energia cinetica e l'energia potenziale:

${\mathcal {L}}(r,{\dot {r}})={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}-U(r)$

si nota che:

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r}}}}=m{\dot {r}}\qquad {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r}}=-{\frac {\partial U}{\partial r}}=F$

si ha:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r}}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r}}=m{\ddot {r}}-F=0$

ovvero l'equazione di Newton.

La proprietà principale delle equazioni di Lagrange è che, a differenza delle equazioni di Newton, esse non cambiano forma quando si passa dalle coordinate cartesiane $x^{\alpha }$ ad un altro sistema di coordinate $q^{\beta }$. Questo permette di scrivere agevolmente le equazioni in coordinate diverse da quelle cartesiane ottenendo spesso una loro semplificazione (come avviene ad esempio per i problemi con forze centrali scritti in coordinate polari), inoltre permette di generalizzare la teoria dai sistemi definiti su spazi vettoriali ai sistemi definiti su varietà differenziabili, come ad esempio i sistemi con vincoli olonomi.

Costanti del moto

Se la lagrangiana non dipende da una certa coordinata $q_{i}$ (detta per tal motivo coordinata ciclica) si ha dalle equazioni di Eulero-Lagrange che:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q_{i}}}}}\right)=0$

e quindi $p_{i}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {q_{i}}}$ è una costante del moto: si tratta di un caso particolare del più generale teorema di Noether.

Le equazioni di Eulero-Lagrange equivalgono del resto alle equazioni per i momenti coniugati:

$\mathbf {p} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\qquad \mathbf {\dot {p}} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}$

La formulazione delle equazioni del moto a partire dai momenti coniugati è sviluppata dalla meccanica hamiltoniana, in cui l'energia totale del sistema è solitamente associata alla funzione hamiltoniana ${\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$, definita come la trasformata di Legendre della lagrangiana:

${\mathcal {H}}=\sum _{i}{{\dot {q}}_{i}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{{\dot {q}}_{i}}p_{i}-{\mathcal {L}}$

Se inoltre è soddisfatta la condizione di non degenerazione:

$\det \left({\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q_{i}}}\partial {\dot {q_{j}}}}}\right)\neq 0$

ovvero se la matrice di elementi $\partial ^{2}{\mathcal {L}}/\partial {\dot {q_{i}}}\partial {\dot {q_{j}}}$ è invertibile, allora è invertibile la definizione delle coordinate canoniche $(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )$ fornita da $p_{i}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {q_{i}}}$, in modo da avere le ${\dot {q}}$ in funzione di $p$.

Bibliografia

• L. D. Landau e E. M. Lifsits Meccanica (1976) Riuniti, Roma.
• G. Benettin, Appunti per il corso di fisica matematica (PDF), Padova, 2013.
• Antonio Fasano e Stefano Marmi, Meccanica Analitica, (2002) Bollati Boringhieri, Torino ISBN 88-339-5681-4
• Valter Moretti, Elementi di Meccanica Razionale, Meccanica Analitica e Teoria della Stabilita http://www.science.unitn.it/~moretti/dispense.html
• Dare A. Wells, Dinamica lagrangiana, con 275 esercizi risolti, ETAS, collana Schaum (1984), 353 p. (traduzione di Lagrangian Dynamics, McGraw-Hill, (1967) ISBN 007-069258-0) Una trattazione esaustiva dell'argomento. Edizione italiana fuori catalogo, sembra reperibile solo nelle biblioteche.
• (FR) Joseph-Louis Lagrange Mécanique analytique (1788) parte 2, sezione 4, Mallet-Bachelier, Parigi (1853-1855).
• (FR) Joseph-Louis Lagrange Oeuvres de Lagrange v. 11-12 Gauthier-Villars, Parigi (1867-1892).
• (EN) A. G. Webster The dynamics of particles and of rigid, elastic, and fluid bodies. Being lectures on mathematical physics (1912) B. G. Teubner, Leipzig.
• (EN) E. T. Whittaker A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies, (1917) Cambridge University Press.
• (EN) A. Ziwet e P. Field Introduction to analytical mechanics (1921) p. 263 MacMillan, New York.

Voci correlate

• Azione (fisica)
• Calcolo delle variazioni
• Equazioni di Hamilton
• Equazioni di Eulero-Lagrange
• Lagrangiana
• Meccanica hamiltoniana
• Metodo variazionale
• Principio di Fermat
• Principio di Maupertuis
• Principio variazionale di Hamilton
• Spazio delle fasi
• Teorema di Noether
• Teoria di Hamilton-Jacobi

Collegamenti esterni

• (EN) Mark Tuckerman - The Lagrangian formulation of classical mechanics
• (EN) Dimitrios Psaltis - Lagrangian Dynamics
• (EN) Tong, David - Classical Dynamics - Cambridge lecture notes
• (EN) Principle of least action interactive Excellent interactive explanation/webpage
• (EN) Joseph Louis de Lagrange - Œuvres complètes (Gallica-Math)