Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni

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In matematica, in particolare nel calcolo delle variazioni, il Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni è un lemma che consente di trasformare un problema di variazioni dalla forma debole (variazionale) alla forma forte (differenziale), al fine di poter applicare tutti gli strumenti matematici del calcolo differenziale al problema.

Un importante esempio di applicazione del lemma è la derivazione delle equazioni di Eulero-Lagrange dal principio variazionale di Hamilton.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Sia f(x) una funzione di classe in un intervallo tale che

per ogni funzione ammissibile (che implica il fatto che ). Allora , ovvero f è identicamente nulla in .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo per assurdo che esista per cui . Allora, essendo f continua, per il teorema di permanenza del segno esiste un intorno di in cui , ovvero esiste tale che per ogni x tale che . Sia allora

che è evidentemente continua e derivabile in . Abbiamo che

in contraddizione con l'ipotesi.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]