Lemma di Dynkin

Il lemma di Dynkin, altresì detto teorema delle classi monotone, è un enunciato importante in teoria della misura che ha, tra le varie conseguenze, il teorema di unicità delle probabilità. Deve il suo nome al matematico russo Evgenij Borisovič Dynkin.

Definizioni preliminari[modifica | modifica wikitesto]

Un $\pi$ -sistema è una famiglia di parti ${\mathcal {I}}$ di un insieme $\Omega$ con le seguenti caratteristiche:

${\mathcal {I}}\neq \varnothing ;$
$A,B\in {\mathcal {I}}\Rightarrow A\cap B\in {\mathcal {I}}.$

Una classe monotona (detta anche $\lambda$ -sistema) è una famiglia di parti ${\mathcal {M}}$ di un insieme $\Omega$ con le seguenti caratteristiche:

$\Omega \in {\mathcal {M}};$
$A,B\in {\mathcal {M}},A\subset B\Rightarrow B\setminus A\in {\mathcal {M}};$
$\{A_{n}\}\in {\mathcal {M}}$ , $A_{n}\subset A_{n+1}\Rightarrow \bigcup _{n=1}^{\infty }{A_{n}}\in {\mathcal {M}}.$

Si definisce $\sigma$ -algebra generata da una famiglia di parti ${\mathcal {F}}$ , in notazione $\sigma ({\mathcal {F}})$ la più piccola $\sigma$ -algebra contenente ${\mathcal {F}}$ ; analogamente e con la notazione $\lambda ({\mathcal {F}})$ è definita la classe monotona generata da ${\mathcal {F}}$ .

Enunciato del lemma e dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Se ${\mathcal {I}}$ è un $\pi$ -sistema contenente $\Omega$ , allora si ha l'uguaglianza $\lambda ({\mathcal {I}})=\sigma ({\mathcal {I}})$ .

Infatti, se ${\mathcal {I}}$ contiene $\Omega$ allora è evidente che $\lambda ({\mathcal {I}})$ è chiusa per passaggio al complementare, perché $A^{c}=\Omega \setminus A$ e una classe monotona è chiusa rispetto alla differenza insiemistica. Abbiamo dimostrato la prima delle due caratteristiche fondamentali di una $\sigma$ -algebra.

Se una classe di insiemi è chiusa per passaggio al complementare e per intersezioni finite, applicando le leggi di De Morgan, essa è chiusa per unioni finite. Se inoltre una famiglia di insiemi è chiusa per unioni finite e per unioni numerabili crescenti (terza proprietà di classe monotona nell'elenco), allora questa sarà chiusa per tutte le unioni numerabili (altra proprietà fondante delle $\sigma$ -algebre).

Non resta che dimostrare la chiusura di $\lambda ({\mathcal {I}})$ . La suddetta dimostrazione si articola in due parti:

$A\in {\mathcal {I}},B\in \lambda ({\mathcal {I}})\Rightarrow A\cap B\in \lambda ({\mathcal {I}});$
$A\in \lambda ({\mathcal {I}}),B\in \lambda ({\mathcal {I}})\Rightarrow A\cap B\in \lambda ({\mathcal {I}}).$

Non si tratta che di effettuare banali verifiche delle proprietà di $\lambda$ -sistema sulle seguenti classi di insiemi:

${\mathcal {M}}:=\{B\in \lambda ({\mathcal {I}})|A\cap B\in \lambda ({\mathcal {I}}),A\in {\mathcal {I}}\};$
${\mathcal {M}}':=\{B\in \lambda ({\mathcal {I}})|A\cap B\in \lambda ({\mathcal {I}}),A\in \lambda ({\mathcal {I}})\}.$