Lemma di Dynkin

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Il lemma di Dynkin, altresì detto teorema delle classi monotone, è un enunciato importante in teoria della misura che ha, tra le varie conseguenze, il teorema di unicità delle probabilità. Deve il suo nome al matematico russo Evgenij Borisovič Dynkin.

Definizioni preliminari[modifica | modifica wikitesto]

Un -sistema è una famiglia di parti di un insieme con le seguenti caratteristiche:

Una classe monotona (detta anche -sistema) è una famiglia di parti di un insieme con le seguenti caratteristiche:

  • ,

Definisco -algebra generata da una famiglia di parti , in notazione , la più piccola -algebra contenente ; analogamente e con la notazione è definita la classe monotona generata da .

Enunciato del lemma e dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Se è un -sistema contenente , allora si ha l'uguaglianza .

Infatti, se contiene allora è evidente che è chiusa per passaggio al complementare, perché e una classe monotona è chiusa rispetto alla differenza insiemistica. Abbiamo provato la prima delle due caratteristiche fondamentali di una -algebra.

Operiamo ora il seguente ragionamento: se una classe di insiemi è chiusa per passaggio al complementare e per intersezioni finite, applicando le Leggi di De Morgan, essa è chiusa per unioni finite. Se inoltre una famiglia di insiemi è chiusa per intersezioni finite e per unioni numerabili crescenti (terza proprietà di classe monotona nell'elenco), allora questa sarà chiusa per tutte le unioni numerabili (altra proprietà fondante delle -algebre).

Non resta che provare la chiusura di : la suddetta dimostrazione si articola in due parti.

Non si tratta che di effettuare banali verifiche delle proprietà di -sistema sulle seguenti classi di insiemi:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Jean Jacod e Philip E. Protter, Probability Essentials, Berlino, Springer-Verlag, 2004. ISBN 3-540-43871-8.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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