Versiera

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In geometria, la versiera è una curva del piano, costruibile sinteticamente attraverso procedimenti geometrici elementari ed esprimibile analiticamente mediante una funzione cubica. La versiera è caratterizzata da una forma a campana, simile a quella della distribuzione gaussiana.

Costruzione della versiera

Attribuita a Maria Gaetana Agnesi, che la descrisse in Istituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana (1748), in realtà era già stata studiata da Pierre de Fermat nel 1666 e da Guido Grandi nel 1703. Il nome attribuito da Grandi alla curva era versoria e derivava dall'omonimo termine latino che indicava la corda legata all'estremità di una vela, utilizzata per le virate. Fu Maria Gaetana Agnesi a introdurre il nome versiera. Il traduttore inglese del libro della Agnesi confuse la versiera con il termine l'avversiera, che significa strega, ovvero avversaria di Dio, e denominò la curva witch of Agnesi (strega di Agnesi), nome con il quale essa è conosciuta in numerose lingue.[1][2][3]

Costruzione[modifica | modifica sorgente]

Agnesi.gif

Data un circonferenza di centro (0, a) e una retta t parallela all'asse x di equazione y = 2a tangente al cerchio nel punto (0, 2a), e un fascio di rette passanti per l'origine degli assi, la versiera è il luogo dei punti M che hanno: come ascissa, l'ascissa del punto L di intersezione di una generica retta del fascio con la tangente t; come ordinata, l'ordinata del punto C di intersezione della stessa retta del fascio con la circonferenza.

Equazione[modifica | modifica sorgente]

Versiere ottenute per diversi valori del parametro a: 1/2 (rosso), 1 (blu), 3/2 (verde)

Applicando la costruzione sopra descritta, l'equazione cartesiana della curva è:[4]

 y = \frac {8a^3}{x^2+4a^2} .

L'equazione parametrica è invece:


\left\{
\begin{matrix}
x & = & 2a \tan \theta \\
y & = & 2a \cos ^2\theta ,
\end{matrix}
\right.

dove \theta è l'angolo formato dalla retta del fascio con l'asse delle ordinate.

Una parametrizzazione che fa uso solo di funzioni algebriche è la seguente:[5]


\left\{
\begin{matrix}
x & = & 2a t \\
y & = & \frac{2a} {1+t^2} .
\end{matrix}
\right.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Per a = 1/2, l'equazione diventa

y = \frac{1}{x^2+1},

che è la derivata dell'arcotangente.

L'area racchiusa tra la versiera e l'asse delle ascisse vale 4 \pi a^2, ovvero il quadruplo dell'area del cerchio utilizzato nella costruzione.

Ruotando la curva attorno all'asse delle ascisse si ottiene una superficie a forma di fuso il cui volume vale 4\pi^2 a^3.

Applicazioni[modifica | modifica sorgente]

La versiera trova applicazione in fisica nella descrizione dei fenomeni di risonanza: ad esempio un atomo colpito da una radiazione monocromatica, emette una radiazione la cui intensità dipende dalla frequenza della radiazione emessa; la relazione tra questa due grandezze è data dall'equazione della versiera, con il massimo in corrispondenza della lunghezza d'onda della luce incidente[6].

In statistica, la distribuzione di una variabile casuale di Cauchy è espressa da una versiera.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Wassenaar, op. cit.
  2. ^ Bruen, op. cit.
  3. ^ Lee, op. cit.
  4. ^ O'Connor, Robertson, op. cit.
  5. ^ O'Connor, Robertson, op. cit.
  6. ^ Wassenaar, op. cit.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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