Versiera

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In geometria, la versiera è una curva del piano, costruibile sinteticamente attraverso procedimenti geometrici elementari ed esprimibile analiticamente mediante una funzione razionale. La versiera è caratterizzata da una forma a campana, simile a quella della distribuzione gaussiana.

Costruzione della versiera

Attribuita a Maria Gaetana Agnesi, che la descrisse in Istituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana (1748), in realtà era già stata studiata da Pierre de Fermat nel 1666 e da Guido Grandi nel 1703. Il nome attribuito da Grandi alla curva era versoria e derivava dall'omonimo termine latino che indicava la corda legata all'estremità di una vela, utilizzata per le virate. Fu Maria Gaetana Agnesi a introdurre il nome versiera.

Il traduttore inglese del libro della Agnesi intese versiera come abbreviazione di avversiera, che significa strega, ovvero avversaria di Dio, e denominò la curva witch of Agnesi (strega di Agnesi), nome con il quale è conosciuta in numerose lingue.[1][2][3]

Costruzione[modifica | modifica sorgente]

Agnesi.gif

Data un circonferenza di centro (0, a) e di raggio a e una retta t parallela all'asse x di equazione y = 2a tangente al cerchio nel punto (0, 2a), e un fascio di rette passanti per l'origine degli assi, la versiera è il luogo dei punti M che hanno: come ascissa, l'ascissa del punto L di intersezione di una generica retta del fascio con la tangente t; come ordinata, l'ordinata del punto C di intersezione della stessa retta del fascio con la circonferenza.

Equazione[modifica | modifica sorgente]

Versiere ottenute per diversi valori del parametro a: 1/2 (rosso), 1 (blu), 3/2 (verde)

Applicando la costruzione sopra descritta, l'equazione cartesiana della curva è:[4]

 y = \frac {8a^3}{x^2+4a^2} .

L'equazione parametrica è invece:


\left\{
\begin{matrix}
x & = & 2a \tan \theta \\
y & = & 2a \cos ^2\theta ,
\end{matrix}
\right.

dove \theta è l'angolo formato dalla retta del fascio con l'asse delle ordinate.

Una parametrizzazione che fa uso solo di funzioni algebriche è la seguente:[5]


\left\{
\begin{matrix}
x & = & 2a t \\
y & = & \frac{2a} {1+t^2} .
\end{matrix}
\right.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Per a = 1/2, l'equazione diventa

y = \frac{1}{x^2+1},

che è la derivata dell'arcotangente.

L'area racchiusa tra la versiera e l'asse delle ascisse vale 4 \pi a^2, ovvero il quadruplo dell'area del cerchio utilizzato nella costruzione.

Ruotando la curva attorno all'asse delle ascisse si ottiene una superficie a forma di fuso il cui volume vale 4\pi^2 a^3.

Applicazioni[modifica | modifica sorgente]

La versiera trova applicazione in fisica nella descrizione di alcuni particolari fenomeni di risonanza: ad esempio un atomo, o una molecola, sono sistemi microscopici dotati, per dinamica interna, di stati stazionari di equilibrio; pertanto essi, in condizioni ordinarie, si trovano in equilibrio termodinamico. Se un atomo viene colpito da una radiazione elettromagnetica monocromatica, ossia se esso è perturbato esternamente da una forza periodica armonica, allora esso, come tutti i sistemi dinamici in equilibrio, o in situazioni prossime all'equilibrio, reagisce assorbendo ed emettendo energia; nel caso che la perturbazione apporti energia in forma elettromagnetica, l'atomo riemette, in condizioni di risonanza, tale energia radiante nella medesima forma di radiazione. Tuttavia lo spettro di radiazione non è semplicemente monocromatico, cioè non presenta una distribuzione di Dirac, ma , piuttosto, esibisce una distribuzione di frequenze avente una certa larghezza di banda ed un profilo di intensità dipendente dalla frequenza della radiazione stessa; la relazione tra l'intensità della radiazione emessa (o assorbita) e la frequenza di oscillazione della radiazione medesima, in certe circostanze, è data dalla funzione "versiera di Agnesi". La funzione di Agnesi, nell'ambito degli studi sugli spettri atomici e molecolari, è chiamata funzione lorentziana o distribuzione di Lorentz; la lorentziana di assorbimento (e di emissione) ha il massimo in corrispondenza della lunghezza d'onda (e quindi della frequenza) della luce incidente per la quale si avrebbe la risonanza idealmente monocromatica, cioè in corrispondenza della ideale distribuzione di Dirac [6] ed è pertanto, rispetto a tale massimo, simmetrica. Diversi fenomeni fisici portano ad allargamenti di riga di tipo loretziano: nel caso in cui nessuno di essi sia di entità trascurabile, cioè nel caso in cui le larghezze dei vari profili lorentziani siano confrontabili, la loro convoluzione porta ad un profilo matematico ancora di tipo lorentziano, con larghezza pari alla somma delle larghezze dei singoli profili. In altre circostanze, la risonanza tra atomi e radiazione elettromagnetica subisce un allargamento di riga con profilo gaussiano. Anche in questo caso, se sono significativi diversi fenomeni fisici, ciascuno dei quali determina un allargamento di riga di tipo gaussiano, la loro convoluzione ha ancora un profilo gaussiano, ma con larghezza pari alla radice quadrata della somma dei quadrati delle singole larghezze gaussiane.

In generale, la larghezza di riga di un atomo è dunque l'integrale di convoluzione tra un profilo gaussiano ed un profilo lorentziano ( o "di Agnesi"); tale profilo di convoluzione è noto come integrale di Voigt, ed è, in generale, una trascendente superiore. Se, infatti, le larghezze , rispettivamente, della lorentziana risultante e della gaussiana risultante da convolvere , sono confrontabili, allora l'integrale di Voigt non è esprimibile in forma chiusa, cioè non è rappresentabile analiticamente in termini finiti di sole funzioni elementari. Se invece una delle due curve è molto più larga dell'altra, allora l'integrale di Voigt si approssima con il profilo più largo, in quanto quello più stretto, nell'integrale di convoluzione, si comporta , al limite, approssimativamente, come una delta di Dirac.

La funzione di Agnesi appare anche in contesti di fisica o di ingegneria differenti dallo studio o dall'applicazione tecnologica degli spettri atomici e molecolari: in tali ambiti è chiamata, ancora una volta, funzione di Lorentz.

In statistica, la distribuzione di una variabile casuale di Cauchy è espressa da una versiera.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Wassenaar, op. cit.
  2. ^ Bruen, op. cit.
  3. ^ Lee, op. cit.
  4. ^ O'Connor, Robertson, op. cit.
  5. ^ O'Connor, Robertson, op. cit.
  6. ^ Wassenaar, op. cit.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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