Versiera

In geometria, la versiera è una curva del piano, costruibile sinteticamente attraverso procedimenti geometrici elementari ed esprimibile analiticamente mediante una funzione cubica. La versiera è caratterizzata da una forma a campana, simile a quella della distribuzione gaussiana.

Costruzione della versiera

Attribuita a Maria Gaetana Agnesi, che la descrisse in Istituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana (1748), in realtà era già stata studiata da Pierre de Fermat nel 1666 e da Guido Grandi nel 1703. Il nome attribuito da Grandi alla curva era versoria e derivava dall'omonimo termine latino che indicava la corda legata all'estremità di una vela, utilizzata per le virate. Fu Maria Gaetana Agnesi a introdurre il nome versiera. Il traduttore inglese del libro della Agnesi confuse la versiera con il termine l'avversiera, che significa strega, ovvero avversaria di Dio, è denominò la curva come witch of Agnesi (strega di Agnesi), un nome con il quale essa è conosciuta in numerose lingue.

Costruzione

Data un circonferenza di centro $(0, a)$ e una retta $t$ parallela all'asse $x$ di equazione $y = 2a$ tangente al cerchio nel punto $(0, 2a)$, e un fascio di rette passanti per l'origine degli assi, la versiera è il luogo dei punti $M$ che hanno: come ascissa, l'ascissa del punto $L$ di intersezione di una generica retta del fascio con la tangente $t$; come ordinata, l'ordinata del punto $C$ di intersezione della stessa retta del fascio con la circonferenza.

Equazione

Versiere ottenute per diversi valori del parametro a: 1/2 (rosso), 1 (blu), 3/2 (verde)

Applicando la costruzione sopra descritta, l'equazione cartesiana della curva è:

$y = \frac {8a^3}{x^2+4a^2}$.

L'equazione parametrica è invece:

$\left\{ \begin{matrix} x & = & 2a \tan \theta \\ y & = & 2a \cos ^2\theta , \end{matrix} \right.$

dove $\theta$ è l'angolo formato dalla retta del fascio con l'asse delle ordinate.

Una parametrizzazione che fa uso solo di funzioni algebriche è la seguente:

$\left\{ \begin{matrix} x & = & 2a t \\ y & = & \frac{2a} {1+t^2} . \end{matrix} \right.$

Proprietà

Per $a = 1/2$, l'equazione diventa

$y = \frac{1}{x^2+1}$,

che è la derivata dell'arcotangente.

L'area racchiusa tra la versiera e l'asse delle ascisse vale $4 \pi a^2$, ovvero il quadruplo dell'area del cerchio utilizzato nella costruzione.

Ruotando la curva attorno all'asse delle ascisse si ottiene una superficie a forma di fuso il cui volume vale $4\pi^2 a^3$.

Applicazioni

La versiera trova applicazione in fisica nella descrizione dei fenomeni di risonanza: ad esempio un atomo colpito da una radiazione monocromatica, emette una radiazione la cui intensità dipende dalla frequenza della radiazione emessa; la relazione tra questa due grandezze è data dall'equazione della versiera, con il massimo in corrispondenza della lunghezza d'onda della luce incidente.

In statistica, la distribuzione di una variabile casuale di Cauchy è espressa da una versiera.

Bibliografia

• Jan Wassenaar. (EN) Resonance curve. URL consultato in data 22-08-2008.
• Robert Bruen. (EN) A Brief History of The Lucasian Professorship of Mathematics at Cambridge University. maggio 2005. URL consultato in data 22-08-2008.
• Xah Lee. (EN) Witch of Agnesi in A Visual Dictionary of Special Plane Curves. URL consultato in data 22-08-2008.
• John O'Connor; Edmund Robertson. (EN) Witch of Agnesi in The MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. URL consultato in data 22-08-2008.

Voci correlate

• Maria Gaetana Agnesi

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