Teorema dell'energia cinetica

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Il teorema dell'energia cinetica (o teorema delle forze vive) afferma che se un corpo possiede un'energia iniziale e una forza agisce su di esso effettuando un lavoro, l'energia cinetica finale del corpo è uguale alla somma dell'energia cinetica iniziale e del lavoro.

È importante sottolineare che il teorema vale anche per forze variabili con il tempo o con la posizione, per sistemi a massa costante.

Il teorema è fondamentalmente una conseguenza del secondo principio della dinamica.

Teorema delle forze vive (o Teorema dell'Energia Cinetica)[modifica | modifica wikitesto]

In meccanica classica, l'energia cinetica di un corpo di massa m è il lavoro necessario per portarlo da una velocità iniziale nulla ad una velocità finale v. Questa definizione può essere formalizzata grazie a quello che storicamente prende il nome di teorema delle forze vive, oggi più noto come teorema dell'energia cinetica. Ne vediamo ora una rapida dimostrazione.

Consideriamo un punto materiale di quantità di moto q. Sia F la forza risultante agente su di esso. Vale il secondo principio della dinamica:

\mathbf{F} = \frac{\operatorname{d} \mathbf{q}}{\operatorname{d}t}

Consideriamo ora il lavoro elementare sotto questo aspetto. Si ha:

\operatorname{d} L = \mathbf{F} \cdot \operatorname{d}\mathbf{x} = \frac{\operatorname{d} \mathbf{q}}{\operatorname{d}t} \cdot \operatorname{d}\mathbf{x} = \frac{\operatorname{d} \mathbf{x}}{\operatorname{d}t} \cdot \operatorname{d}\mathbf{q} = \mathbf v \cdot \operatorname{d}(m \mathbf{v})

Nel caso in cui la massa del sistema sia costante nel tempo in ogni punto:

\frac{\operatorname{d} m}{\operatorname{d} t} = 0 \rightarrow \operatorname{d}L = m \mathbf v \cdot \operatorname{d}\mathbf{v} = \operatorname{d}{ \left(\frac{m \mathbf{v}^2}{2} \right)} = \operatorname{d} T

ovvero la variazione infinitesima di energia cinetica di un punto materiale tra un istante iniziale e uno finale è uguale al lavoro elementare della forza risultante.

A livello globale ciò significa che il lavoro compiuto dalla forza F quando il corpo si sposta da uno stato iniziale ad uno stato finale è uguale alla variazione dell`energia cinetica del corpo.

L = \Delta T = \frac{m}{2} {(v_f^2 - v_i^2)}

Nota sulla denominazione[modifica | modifica wikitesto]

Anticamente si definiva "vis viva", cioè "forza viva", il semiprodotto della massa per il quadrato della velocità. Da qui la denominazione di "teorema delle forze vive", usata su alcuni vecchi testi di fisica al posto della più recente denominazione di "teorema dell'energia cinetica".

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