Élie Joseph Cartan
Élie Joseph Cartan (Dolomieu, 9 aprile 1869 – Parigi, 6 maggio 1951) è stato un matematico francese, noto soprattutto per i suoi contributi fondamentali alla teoria dei gruppi di Lie e alle loro applicazioni geometriche.
Portò importanti contributi anche alla fisica matematica, alla geometria differenziale e alla teoria dei gruppi.
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[modifica] Vita
Divenne studente della École Normale Supérieure di Parigi nel 1888 e vi ottenne il dottorato nel 1894. Ebbe quindi delle docenze a Montpellier ed a Lione e ottenne una cattedra a Nancy nel 1903. Ottenne incarichi di insegnamento a Parigi nel 1909, diventando professore nel 1912, e si ritirò nel 1942. Sposò Marie-Louise Bianconi ed ebbe tre figli, il noto matematico Henri Cartan, Jean e Louis.
[modifica] Opere
Come egli stesso scrisse in Notice sur les travaux scientifiques, il tema principale delle sue opere (che ammontano a 186 e vennero pubbliccate nel periodo 1893–1947) fu la teoria dei gruppi di Lie. Iniziò lavorando sulle fondamenta delle algebre di Lie complesse semplici, ripulendo il lavoro precedentemente svolto da Friedrich Engel e Wilhelm Killing. Introdusse inoltre la nozione di gruppo algebrico, che non sarebbe stata sviluppata seriamente prima del 1950.
Cartan definì la nozione generale di forma differenziale anti-simmetrica, nello stile oggi in uso; il suo approccio ai gruppi di Lie attraverso le equazioni di Maurer – Cartan required 2-forms for their statement. All'epoca venivano generalmente usati quelli che venivano chiamati sistemi pfaffiani. Cartan aggiunse la derivata esterna, come operazione geometrica e completamente indipendente dalle coordiante. Questo concetto porta naturalmente alla necessità di discutere le p-forms, di grado generale p.
Con questi principi base — gruppi di Lie e forme differenziali — finì con il produrre un enorme corpo di opere, e anche alcune tecniche generali come i sistemi di riferimento mobili, che vennero gradualmente incorporate nella corrente principale matematica.
Nella Notice ha classificato i suoi lavori in 15 aree. Usando la terminologia attuale si possono presentare come segue:
- Gruppi di Lie
- Rappresentazioni dei gruppi di Lie
- Numeri ipercomplessi, algebre di divisione
- Sistemi di PDE, teorema di Cartan-Kähler
- Teoria dell'equivalenza
- Sistemi integrabili, teoria del prolungamento e sistemi in involuzione
- Gruppi infinito dimensionali e pseudogruppi
- Geometria differenziale e sistemi di riferimento mobili
- Spazi generalizzati con gruppi di struttura e connessioni, connessione di Cartan, olonomia, tensore di Weyl
- Geometria e topologia dei gruppi di Lie
- Geometria riemanniana
- Spazi simmetrici
- Topologia dei gruppi compatti e loro spazi omogenei
- Invarianti integrali e meccanica classica
- Relatività generale, spinori
