Rappresentazioni dei gruppi di Lie

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Si dice rappresentazione di un gruppo di Lie G su uno spazio vettoriale V un omomorfismo sotto il quale ogni elemento g in G è mappato in un elemento dello spazio degli operatori lineari invertibili agenti su V e consistenti con le operazioni di gruppo.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Una rappresentazione T di un gruppo G sullo spazio vettoriale V è un omomorfismo

\begin{matrix} T: & G & \longrightarrow & Hom(V,W) \\ & g & \longmapsto & T(g) \end{matrix}

Dove T(g): V \longrightarrow W è invertibile e tale da rispettare le operazioni definenti il gruppo:

\begin{matrix} T(g_1 g_2) = T(g_1)T(g_2)\\ T(g^{-1}) = [T(g)]^{-1} \end{matrix}

Dove [T(g)]^{-1} rappresenta l'operatore inverso a T(g).

Rappresentazione di Algebre di Lie[modifica | modifica wikitesto]

Corrispondentemente alla rappresentazione di gruppo di Lie esiste quella della sua Algebra nello stesso spazio vettoriale V. La rappresentazione di un'algebra di Lie AG su uno spazio vettoriale V è una mappa che manda ogni elemento A \in AG in un elemento T(A) dello spazio delle applicazioni lineari dello spazio vettoriale V consistente con le operazioni dell'algebra:

\begin{matrix} T(A+B) = T(A)T(B)\\ T( \alpha A) = \alpha T(A)\\ T([A,B])=[T(A),T(B)] \end{matrix}

Perciò il prodotto di Lie viene mandato nel commutatore degli operatori.

Connessione tra rappresentazioni di Gruppo e di Algebre[modifica | modifica wikitesto]

Data T(G) rappresentazione del gruppo di Lie G nello spazio V è possibile costruire la rappresentazione della corrispondente algebra di Lie AG.

T(1+\varepsilon A) = 1 + \varepsilon T(A)

Dove (1+\varepsilon A) è un elemento del gruppo G vicino all'unità, e di conseguenza A è un elemento dell'algebra di Lie. Nonostante ciò non ogni rappresentazione di algebra è costruita da rappresentazione di gruppi.


Esiste sempre una rappresentazione dell'algebra di dimensione n in termini di matrici nxn: questa è la rappresentazione aggiunta.


Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Fulton-Harris Introduction to representation theory with emphasis on Lie groups.
  • Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
  • Anthony W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction, Progress in Mathematics, vol. 140, 2nd, Boston, Birkhäuser, 2002..
  • Wulf Rossmann, Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford University Press, 2001, ISBN 978-0198596837.. The 2003 reprint corrects several typographical mistakes.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica