Rappresentazioni dei gruppi di Lie

Si dice rappresentazione di un gruppo di Lie $G$ su uno spazio vettoriale $V$ un omomorfismo sotto il quale ogni elemento $g$ in $G$ è mappato in un elemento dello spazio degli operatori lineari invertibili agenti su $V$ e consistenti con le operazioni di gruppo.

Definizione

Una rappresentazione $T$ di un gruppo $G$ sullo spazio vettoriale $V$ è un omomorfismo

$\begin{matrix} T: & G & \longrightarrow & Hom(V,W) \\ & g & \longmapsto & T(g) \end{matrix}$

Dove $T(g): V \longrightarrow W$ è invertibile e tale da rispettare le operazioni definenti il gruppo:

$\begin{matrix} T(g_1 g_2) = T(g_1)T(g_2)\\ T(g^{-1}) = [T(g)]^{-1} \end{matrix}$

Dove $[T(g)]^{-1}$ rappresenta l'operatore inverso a $T(g)$.

Rappresentazione di Algebre di Lie

Corrispondentemente alla rappresentazione di gruppo di Lie esiste quella della sua Algebra nello stesso spazio vettoriale V. La rappresentazione di un'algebra di Lie $AG$ su uno spazio vettoriale $V$ è una mappa che manda ogni elemento $A \in AG$ in un elemento $T(A)$ dello spazio delle applicazioni lineari dello spazio vettoriale V consistente con le operazioni dell'algebra:

$\begin{matrix} T(A+B) = T(A)T(B)\\ T( \alpha A) = \alpha T(A)\\ T([A,B])=[T(A),T(B)] \end{matrix}$

Perciò il prodotto di Lie viene mandato nel commutatore degli operatori.

Connessione tra rappresentazioni di Gruppo e di Algebre

Data T(G) rappresentazione del gruppo di Lie G nello spazio V è possibile costruire la rappresentazione della corrispondente algebra di Lie AG.

$T(1+\varepsilon A) = 1 + \varepsilon T(A)$

Dove $(1+\varepsilon A)$ è un elemento del gruppo G vicino all'unità, e di conseguenza A è un elemento dell'algebra di Lie. Nonostante ciò non ogni rappresentazione di algebra è costruita da rappresentazione di gruppi.

Esiste sempre una rappresentazione dell'algebra di dimensione n in termini di matrici nxn: questa è la rappresentazione aggiunta.

Bibliografia

• Fulton-Harris Introduction to representation theory with emphasis on Lie groups.
• Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
• Knapp, Anthony W. (2002). Lie Groups Beyond an Introduction (Birkhäuser) 140..
• Rossmann, Wulf (2001). Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups (Oxford University Press).. The 2003 reprint corrects several typographical mistakes.

Voci correlate

• Lemma di Schur
• Rappresentazione dei gruppi
• Teoria dei caratteri
• Teoria delle rappresentazioni dei gruppi finiti

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