Matrice di Cartan

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In matematica, il termine matrice di Cartan ha due significati, entrambi ricondotti al matematico francese Élie Joseph Cartan (1869-1951). Tale termine viene assunto come esempio di legge dell'eponimia di Stigler: infatti le matrici di Cartan nel contesto delle algebre di Lie furono inizialmente studiate dal matematico tedesco Wilhelm Killing, mentre il cosiddetto modello di Killing è dovuto ad Élie Cartan.

Algebre di Lie[modifica | modifica sorgente]

Una matrice di Cartan generalizzata è una matrice quadrata  A = (a_{ij})  con entrate numeri interi tali che

  1. per entrate diagonali  a_{ii} = 2
  2. per entrate non diagonali  a_{ij} \leq 0
  3. a_{ij} = 0  se e solo se  a_{ji} = 0
  4. A  può essere scritta come  DS,  dove  D  è una matrice diagonale, e  S  è una matrice simmetrica.

La terza condizione non è indipendente, poiché è una conseguenza della prima e della quarta condizione.

È sempre possibile scegliere una matrice  D   con entrate diagonali positive. In tal caso, se  S  nella summenzionata scomposizione è una matrice definita positiva, allora  A è detta matrice di Cartan.

La matrice di Cartan di una algebra di Lie semplice è la matrice i cui elementi sono i prodotti scalari

a_{ij}={2 (r_i,r_j)\over (r_i,r_i)}

dove  r_i  sono le radici semplici dell'algebra. Le entrate sono integrate da una delle proprietà delle radici. La prima condizione segue dalla definizione, la seconda dal fatto che per  i\neq j,  r_j-{2(r_i,r_j)\over (r_i,r_i)}r_i  è una radice che è una combinazione lineare delle radici semplici   ri  e   rj  con un coefficiente positivo per   ri  e quindi il coefficiente per   ri  deve essere non negativo. La terza è vera perché l'ortogonalità è una relazione simmetrica. E infine, siano  D_{ij}={\delta_{ij}\over (r_i,r_i)}  e  S_{ij}=2(r_i,r_j). Poiché le radici semplici si estendono in uno spazio euclideo, la matrice  S  è definita positiva.

Rappresentazione delle algebre a dimensione finita[modifica | modifica sorgente]

Nella teoria delle rappresentazioni modulari, e più in generale nella teoria delle rappresentazioni delle algebre di dimensioni finite  A  che sono non semisemplici, una matrice di Cartan viene definita considerando un numero (limitato) di moduli non scomponibili e scrivendo serie di componenti per essi in termini di moduli proiettivi, ottenendo una matrice di interi che contano il numero di eventi di un modulo proiettivo.


Bibliografia[modifica | modifica sorgente]


Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]


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