Rotore (matematica)

Nel calcolo differenziale vettoriale, il rotore di un campo vettoriale tridimensionale è un operatore vettoriale che ne descrive la rotazione infinitesima, associando ad ogni punto dello spazio un vettore. Si tratta di un vettore allineato con l'asse di rotazione; il suo verso è coerente con quello della rotazione secondo la regola della mano destra e la sua lunghezza è il valore della circuitazione del campo (la sua integrazione lungo un percorso chiuso) per unità di area, cioè nel limite in cui la curva di integrazione si riduce ad un punto.

Ad esempio, se come campo vettoriale si considera la velocità delle particelle che compongono un qualche fluido, il rotore del campo vettoriale è la densità di circolazione del fluido. I campi vettoriali che hanno rotore uguale a zero sul proprio dominio sono chiamati irrotazionali.

Il rotore, indicato con $\nabla \times$, misura la massima componente rotazionale piana nello sviluppo di Taylor di un campo vettoriale al primo ordine, ovvero nella linearizzazione del campo in 3 dimensioni. Pertanto, si tratta di un tipo di derivazione di un campo vettoriale. La relativa integrazione avviene tramite il teorema del rotore, caso particolare del teorema di Stokes, che mette in relazione l'integrale di superficie $S$ del rotore del campo vettoriale con l'integrale di linea del campo vettoriale lungo la frontiera $\partial S$ di $S$.

A differenza di gradiente e divergenza, generalizzare il rotore a spazi di dimensione maggiore non è semplice. Esistono alcune generalizzazioni, ma solo in tre dimensioni la definizione geometrica di rotore di un campo vettoriale fornisce un altro campo vettoriale. Da questo punto di vista, il rotore ha proprietà simili a quelle del prodotto vettoriale.

Interpretazione intuitiva

Supponiamo che un campo vettoriale (tridimensionale) $\mathbf {F}$ descriva la velocità di un liquido o un gas. Immaginando di fissare il centro di una piccola sfera in un punto, se questa sferetta ha una superficie ruvida allora inizierà a ruotare su se stessa, mossa dallo scorrere del liquido. Il rotore $\nabla \times \mathbf {F}$ valutato nel centro della sfera è un vettore che ha come direzione l'asse di rotazione della sfera e come lunghezza la metà del valore assoluto del momento angolare della sfera. Inoltre, il senso di rotazione è associato al vettore in accordo con la regola della mano destra.

Definizione

Sotto l'ipotesi che un campo vettoriale $\mathbf {F}$ sia di classe $C^{1}$, il rotore $\nabla \times \mathbf {F}$ di $\mathbf {F}$ è definito in ogni punto attraverso la sua proiezione su un versore $\mathbf {\hat {n}}$ di $\mathbb {R} ^{3}$ posto nel punto: si tratta del valore dell'integrale di linea $\scriptstyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$ del campo in un piano ortogonale a $\mathbf {\hat {n}}$ nel limite in cui la curva $C$ di integrazione si riduce ad un punto, cioè nel limite in cui l'area $A$ delimitata da $C$ tende ad annullarsi, diviso per l'area $|A|$:

$(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {\hat {n}} \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\lim _{A\to 0}\left({\frac {1}{|A|}}\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} \right)$

Si tratta di una scrittura del teorema del rotore, e si può interpretare il prodotto scalare tra $\nabla \times \mathbf {F}$ ed il vettore unitario $\mathbf {n}$ come densità superficiale di circuitazione del campo $\mathbf {F}$ attorno alla direzione $\mathbf {\hat {n}}$.

In un sistema di riferimento con coordinate curvilinee ortogonali $(u_{1},u_{2},u_{3})$, come le coordinate cartesiane, sferiche, cilindriche, ellittiche o paraboliche, il rotore di $\mathbf {F} =(F_{1},F_{2},F_{3})$ è dato da:

$(\nabla \times \mathbf {F} )\,_{3}={\frac {1}{a_{1}a_{2}}}\left({\frac {\partial (a_{2}F_{2})}{\partial u_{1}}}-{\frac {\partial (a_{1}F_{1})}{\partial u_{2}}}\right)$

dove se, ad esempio, $(x_{1},x_{2},x_{3})$ sono le coordinate cartesiane si ha:

$a_{i}={\sqrt {\sum \limits _{j=1}^{3}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial u_{i}}}\right)^{2}}}$

Le restanti due componenti del rotore si ottengono dalla permutazione ciclica degli indici: 3,1,2 → 1,2,3 → 2,3,1.

Più in generale, per un campo tensoriale il rotore è dato da:

$(\nabla \times B)^{k}=\epsilon ^{k\ell m}B_{m;\ell }$

dove $;$ denota la derivata covariante. Utilizzando invece la derivata esterna:

$\nabla \times \mathbf {F} =\left[\star \left({\mathbf {d} }F^{\flat }\right)\right]^{\sharp }$

dove $\flat$ e $\sharp$ sono isomorfismi musicali e $\star$ è il duale di Hodge.

Quest'ultima formulazione è valida in un sistema di coordinate generico, e consente di estendere il rotore a varietà riemanniane orientate. Dato che dipende dall'orientazione della varietà, il rotore è un operatore chirale: se cambia l'orientazione cambia anche il verso del rotore.

Coordinate cartesiane

In coordinate cartesiane, detti $\mathbf {i}$, $\mathbf {j}$, e $\mathbf {k}$ i versori degli assi, il rotore di un campo vettoriale $\mathbf {F} =(F_{x},F_{y},F_{z})$ è il campo vettoriale $\nabla \times \mathbf {F}$ definito da:

$\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}0&{-{\frac {\partial }{\partial z}}}&{\frac {\partial }{\partial y}}\\\\{\frac {\partial }{\partial z}}&0&{-{\frac {\partial }{\partial x}}}\\\\{-{\frac {\partial }{\partial y}}}&{\frac {\partial }{\partial x}}&0\end{vmatrix}}\mathbf {F}$

dove nella seconda uguaglianza si è esplicitata l'equazione matriciale, mentre nella prima la scrittura indica il determinante formale della matrice:

$\nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {i} \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)+\mathbf {j} \left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)+\mathbf {k} \left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)$

Coordinate cilindriche

Dato invece un sistema di riferimento in coordinate cilindriche $(x=\rho \cos \phi ,y=\rho \sin \phi ,z=z)$, il rotore di $\mathbf {F} (\rho ,\phi ,z)=\mathbf {e} _{\rho }\ F_{\rho }+\mathbf {e} _{\phi }\ F_{\phi }+\mathbf {e} _{z}\ F_{z}$ è dato da:

$\nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {e} _{\rho }\ \left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{z}}{\partial \phi }}-{\frac {\partial F_{\phi }}{\partial z}}\right)+\mathbf {e} _{\phi }\ \left({\frac {\partial F_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial \rho }}\right)+\mathbf {e} _{z}\ {\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial (\rho F_{\phi })}{\partial \rho }}-{\frac {\partial F_{\rho }}{\partial \phi }}\right)$

Rotore come derivata esterna

Ad un campo vettoriale $\mathbf {F} =(F_{x},F_{y},F_{z})$ nello spazio possiamo associare una corrispondente 1-forma differenziale

$\omega =F_{x}\mathrm {d} x+F_{y}\mathrm {d} y+F_{z}\mathrm {d} z$

allora la sua derivata esterna risulta essere la 2-forma

$\mathrm {d} \omega =\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)dy\wedge dz+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)dz\wedge dx+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)dx\wedge dy$

$=(\nabla \times \mathbf {F} )_{x}dy\wedge dz+(\nabla \times \mathbf {F} )_{y}dz\wedge dx+(\nabla \times \mathbf {F} )_{z}dx\wedge dy$

Identità vettoriali

In coordinate cartesiane si mostra che $\nabla \times (\mathbf {v\times \mathbf {F} } )$ è uguale a:

$\nabla \times \left(\mathbf {v\times F} \right)=\left[\left(\mathbf {\nabla \cdot F} \right)+\mathbf {F\cdot \nabla } \right]\mathbf {v} -\left[\left(\mathbf {\nabla \cdot v} \right)+\mathbf {v\cdot \nabla } \right]\mathbf {F}$

e se si invertono il campo vettoriale e $\nabla$:

$\mathbf {v\ \times } \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\nabla _{F}\left(\mathbf {v\cdot F} \right)-\left(\mathbf {v\cdot \nabla } \right)\mathbf {F}$

dove $\nabla _{F}$ significa che il gradiente agisce solo su $\mathbf {F}$.

Sempre in coordinate cartesiane, $\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )$ è dato da:

$\nabla \times \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla \cdot F} )-\nabla ^{2}\mathbf {F}$

dove $\nabla ^{2}\mathbf {F}$ è il laplaciano vettoriale di $\mathbf {F}$. Questa relazione può essere vista come un caso particolare della precedente sostituendo v → ∇.

Il rotore del gradiente di ogni campo scalare $\varphi$ è nullo:

$\nabla \times (\nabla \phi )={\vec {0}}$

mentre se $\varphi$ è una funzione scalare e $\mathbf {F}$ un campo vettoriale:

$\nabla \times (\varphi \mathbf {F} )=\nabla \varphi \times \mathbf {F} +\varphi \nabla \times \mathbf {F}$

Esempi

Si consideri il seguente campo vettoriale, che dipende da x e da y linearmente:

$\mathbf {F} (x,y,z)=y{\boldsymbol {\hat {x}}}-x{\boldsymbol {\hat {y}}}.$

La sua rappresentazione nel piano cartesiano è:

Dalla semplice ispezione visiva si nota che il campo "sta ruotando", ed usando la regola della mano destra si ottiene il verso del rotore, che è entrante nella pagina. Usando un sistema di coordinate cartesiane standard, ciò corrisponde alla direzione delle z negative. Infatti, calcolando il rotore secondo la definizione:

$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} =0{\boldsymbol {\hat {x}}}+0{\boldsymbol {\hat {y}}}+\left[{\frac {\partial }{\partial x}}(-x)-{\frac {\partial }{\partial y}}y\right]{\boldsymbol {\hat {z}}}=-2{\boldsymbol {\hat {z}}}$

In questo caso il rotore è uguale in tutto lo spazio, indipendentemente dal punto che si considera, e quindi l'entità della rotazione nel campo vettoriale considerato è la stessa ovunque. La sua semplice rappresentazione nel piano cartesiano è pertanto:

Equazioni di Maxwell

Nella terza equazione di Maxwell, espressione locale della legge di Faraday-Neumann-Lenz, il rotore del campo elettrico è uguale e opposto al tasso di variazione della densità di flusso magnetico:

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

In condizioni stazionarie, cioè se i campi non variano nel tempo, si ottiene la conservatività del campo elettrico:

$\nabla \times \mathbf {E} =0$

Inoltre, nella quarta equazione, espressione locale della legge di Ampère-Maxwell, il rotore del campo magnetico è:

$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$

che in condizioni statiche diventa:

$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J}$

Campo magnetico generato da un filo percorso da corrente

Sia:

$\mathbf {F} =\left({\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},\ {\frac {-x}{x^{2}+y^{2}}},\ 0\right)$

Tale campo non è definito sui punti dell'asse $z$, ed è ottenuto moltiplicando il campo dell'esempio precedente per l'inverso del quadrato della distanza dall'asse $z$. Tale campo è irrotazionale (il suo rotore è nullo):

$\nabla \times \mathbf {F} =\left(0-0,\ 0-0,\ {\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}-{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\right)=(0,\ 0,\ 0)$

A meno di costanti moltiplicative, tale espressione coincide con quella del campo magnetico generato da un filo infinito (coincidente con l'asse $z$) percorso da una corrente continua (si tratta di un campo non conservativo, ovvero il lavoro del campo lungo qualunque circuitazione che non racchiuda l'asse $z$ è nullo, mentre non è nullo se la circuitazione racchiude tale asse).

Bibliografia

• (EN) Arfken, George B. and Hans J. Weber. Mathematical Methods For Physicists, Academic Press; 6 edition (June 21, 2005). ISBN 978-0-12-059876-2.
• (EN) Korn, Granino Arthur and Theresa M. Korn, Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review, New York, Dover Publications, pp. 157–160, ISBN 0-486-41147-8.
• (EN) Kaplan, W. "The Curl of a Vector Field." §3.5 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 186-187, 1991.
• (EN) Morse, P. M. and Feshbach, H. "Curl." In Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 39-42, 1953.
• (EN) Schey, H. M. Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus, 3rd ed. New York: W. W. Norton, 1997.

Voci correlate

• Gradiente
• Divergenza
• Tensore di Kong
• Teorema del rotore
• Teorema di Helmholtz
• Teorema di Stokes

Collegamenti esterni

• (EN) L.N. Sretenskii, Curl, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.