Teorema di Helmholtz

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In matematica e fisica, il teorema di Helmholtz, anche detto teorema fondamentale del calcolo vettoriale o decomposizione di Helmholtz, il cui nome è dovuto a Hermann von Helmholtz, afferma che un campo vettoriale sufficientemente regolare è completamente determinato quando sono noti la sua divergenza e il suo rotore in ogni punto del suo dominio. In tal caso esso può essere espresso come somma di un campo vettoriale conservativo e di un campo vettoriale solenoidale.

La decomposizione di Hodge può essere vista come una generalizzazione della decomposizione di Helmholtz in cui si considerano, invece che campi vettoriali in , forme differenziali su una varietà riemanniana. Diverse formulazioni, tuttavia, richiedono che la varietà sia un insieme compatto.[1] Poiché non è compatto, la decomposizione di Hodge generalizza quella di Helmholtz se, invece della compattezza, si impongono determinate condizioni alla decrescita delle forme differenziali presenti.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Sia un campo vettoriale differenziabile con continuità fino al secondo ordine e definito su un dominio . Allora può essere scritto come la somma di un campo vettoriale irrotazionale e di un campo vettoriale solenoidale :[2]

dove è il gradiente, il rotore e:

sono detti potenziali. In particolare, è il potenziale scalare, il potenziale vettore.

Nel caso in cui coincida con e si annulla all'infinito rapidamente, l'integrale di superficie si annulla:[3]

Scrivendo esplicitamente i potenziali si ha la decomposizione di Helmholtz:

dove l'operatore nabla agisce rispetto alle coordinate all'interno degli integrali e rispetto alle coordinate all'esterno. Inoltre, l'integrazione avviene sulle coordinate .

Si può quindi affermare che se si ha un campo vettoriale definito e regolare in tutto lo spazio di cui si conoscono e , e vale la condizione:

allora è completamente determinato dalla sua divergenza e dal suo rotore:

Formulazione debole[modifica | modifica wikitesto]

La decomposizione di Helmholtz può essere generalizzata riducendo le assunzioni di regolarità del campo: si supponga che sia un dominio lipschitziano semplicemente connesso e limitato. Ogni campo vettoriale a quadrato sommabile possiede una decomposizione ortogonale:

dove appartiene allo spazio di Sobolev delle funzioni a quadrato sommabile su le cui derivate parziali (nel senso delle distribuzioni) sono a quadrato sommabile, mentre appartiene allo spazio di Sobolev dei campi vettoriali a quadrato sommabile con rotore a quadrato sommabile. Per campi leggermente più lisci vale una decomposizione del tipo:

dove e .

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Jason Cantarella, Dennis DeTurck e Herman Gluck, Vector Calculus and the Topology of Domains in 3-Space, in The American Mathematical Monthly, vol. 109, nº 5, 2002, pp. 409–442, JSTOR 2695643.
  2. ^ Helmholtz' Theorem (PDF), University of Vermont.
  3. ^ David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice-Hall, 1989, p. 56.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Titoli generali[modifica | modifica wikitesto]

  • George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 4th edition, Academic Press: San Diego (1995) pp. 92–93
  • George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists International Edition, 6th edition, Academic Press: San Diego (2005) pp. 95–101

Formulazione debole del teorema[modifica | modifica wikitesto]

  • C. Amrouche, C. Bernardi, M. Dauge, and V. Girault. "Vector potentials in three dimensional non-smooth domains." Mathematical Methods in the Applied Sciences, 21, 823–864, 1998.
  • R. Dautray and J.-L. Lions. Spectral Theory and Applications, volume 3 of Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology. Springer-Verlag, 1990.
  • V. Girault and P.A. Raviart. Finite Element Methods for Navier–Stokes Equations: Theory and Algorithms. Springer Series in Computational Mathematics. Springer-Verlag, 1986.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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