Isomorfismo musicale

L'isomorfismo musicale è un isomorfismo tra uno spazio vettoriale reale $V$ e il suo spazio duale $V^{*},$ che è indotto da una forma bilineare simmetrica non degenere. Nell'ambito della geometria riemanniana, si tratta di un isomorfismo tra il fibrato tangente $T(M)$ di una varietà riemanniana $(M,g)$ e il suo fibrato cotangente $T^{*}(M),$ che è indotto dalla metrica $g.$

Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale reale di dimensione finita. È noto che $V$ e il suo duale $V^{*}$ sebbene abbiano la stessa dimensione non sono canonicamente isomorfi. Tuttavia fissata una forma bilineare simmetrica non degenere $g(\cdot ,\cdot )$ su $V,$ si verifica che la mappa

$V\to V^{*}:{\mathbf {v} }\mapsto g({\mathbf {v} },\cdot )$

è un isomorfismo di spazio vettoriali, che è detto isomorfismo musicale ed è indicato con il simbolo di bemolle $\flat .$ Il suo inverso, che è un isomorfismo $V^{*}\to V,$ è invece denotato con il simbolo di diesis $\#.$ Nel caso di una varietà riemanniana $(M,g)$ la metrica $g$ definisce in ogni punto $p\in M$ una forma bilineare simmetrica non degenere $g_{p}(\cdot ,\cdot )$ e quindi degli isomorfismi

$\flat \colon T_{p}(M)\to T_{p}^{*}(M)$

e

$\#\colon T_{p}^{*}(M)\to T_{p}(M)$

tra lo spazio tangente $T_{p}(M)$ e lo spazio cotangente $T_{p}^{*}(M),$ questi si estendono a isomorfismi tra il fibrato tangente e il fibrato cotangente di $M$.

Origine del nome

L'origine del nome isomorfismo "musicale" si comprende scrivendo i vettori in componenti. Sia $\{{\mathbf {e} }_{1},\ldots ,{\mathbf {e} }_{n}\}$ una base di $V$ e sia $\{{\mathbf {e} }^{1},\ldots ,{\mathbf {e} }^{n}\}$ la corrispondente base duale di $V^{*},$ cioè vale ${\mathbf {e} }^{i}({\mathbf {e} }_{j})=\delta _{j}^{i},$ dove $\delta _{j}^{i}$ è la delta di Kronecker. Siano poi $g_{ij}$ le componenti della forma bilineare $g(\cdot ,\cdot )$ rispetto alla base ${\mathbf {e} }^{i}\otimes {\mathbf {e} }^{j}$, ossia $g=g_{ij}{\mathbf {e} }^{i}\otimes {\mathbf {e} }^{j},$ dove si è usata la convenzione di Einstein per le somme su indici ripetuti. Allora per un generico vettore ${\mathbf {v} }=v^{i}{\mathbf {e} }_{i}\in V$ le componenti $v_{i}$ di ${\mathbf {v} }^{\flat },$ cioè gli scalari che soddisfano ${\mathbf {v} }^{\flat }=v_{i}{\mathbf {e} }^{i},$ sono date da $v_{i}=v^{j}g_{ij}.$ Quest'ultima operazione "abbassa gli indici" analogamente a come il bemolle abbassa il tono delle note musicali. Similmente la relazione $v^{i}=v_{j}g^{ij},$ dove $g^{ij}$ sono le componenti della matrice inversa della matrice di componenti $g_{ij},$ permette di "alzare gli indici", come il $\#$ alza il tono delle note musicali.

Bibliografia

• M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011, ISBN 978-88-470-1919-5.
• (EN) R.L. Bishop e S.I. Goldberg, Tensor Analysis on Manifolds, First Dover 1980, The Macmillan Company, 1968, ISBN 0-486-64039-6.
• (EN) William Boothby, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry, Pure and Applied Mathematics, volume 120, 2ª ed., Orlando FL, Academic Press, 1986, ISBN 0-12-116053-X.
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