Scuola italiana di geometria algebrica

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Da un punto di vista storico, sotto il nome di Scuola italiana di geometria algebrica si raccoglie un nutrito gruppo di validi matematici italiani del XIX e XX secolo che, col loro vasto e consistente lavoro di studio e di ricerca, portò l'Italia ai più alti livelli in molti settori della geometria algebrica, soprattutto in geometria birazionale e le superfici algebriche, con risultati originali di prim'ordine.

Storia[modifica | modifica wikitesto]

Capiscuola furono soprattutto Guido Castelnuovo, Federigo Enriques e Francesco Severi, che, con il loro originale stile di insegnamento e gli efficaci metodi di studio e di ricerca, contribuirono sia a dare i maggiori risultati che a guidare ed indirizzare gli altri discepoli. Sulla base dell'opera di questi studiosi, a partire dalla seconda metà dello scorso secolo, iniziò ad affermarsi una nuova impostazione teorica della geometria algebrica, soprattutto assiomatica, da parte della scuola americana (Oscar Zariski, Solomon Lefschetz ed altri) e di quella francese (André Weil, Alexander Grothendieck, Jean-Pierre Serre ed altri) che inizialmente sembravano criticare nel rigore della trattazione l'opera della scuola italiana, più improntata all'intuizione che alla formalizzazione. Solo recentemente, però, soprattutto ad opera di David Mumford, si è rivalutata l'importanza innovativa del lavoro della scuola italiana, che fornì le basi intuitive su cui si basarono molte delle successive formalizzazioni della teoria. ...

L'enfasi sulle superfici algebriche, varietà algebriche di dimensione 2 scaturì da una teoria essenzialmente completa sulle curve algebriche (dimensione 1). La situazione attorno al 1870 fu che la teoria delle curve aveva incorporato con la teoria di Brill-Noether il teorema di Riemann-Roch con tutte le sue generalizzazioni (con la geometria del divisore theta).

La classificazione delle superfici algebriche fu un tentativo coraggioso e pieno di successo di ripetere la suddivisione delle curve per il loro genere g. Corrisponde alla classificazione rozza in tre tipi: g = 0 (retta proiettiva), g = 1 (curva ellittica) e g > 1 (superficie di Riemann con dei differenziali olomorfi indipendenti). Nel caso delle superfici la classificazione di Enriques fu in cinque grandi classi, di cui tre erano le analoghe a quelle delle curve, e le altre due (che oggi si chiamerebbero fibrazioni ellittiche e superfici K3) erano il caso di varietà abeliane due dimensionali nel territorio "medio". Questo fu un insieme sano di idee penetranti ripreso nel linguaggio moderno delle varietà complesse da Kunihiko Kodaira negli anni cinquanta e raffinato per definire i fenomeni mod p da Oscar Zariski, la scuola di Igor Rostislavovič Šafarevič e altri attorno al 1960. La forma del teorema di Riemann-Roch su una superficie fu anch'essa elaborata.

La resa qualitativa di ciò che fu dimostrato era necessaria a causa dei problemi di fondazione. Questi includevano un uso intenso di modelli birazionali in dimensione 3 che possono avere modelli non singolari solo se immerse in spazi proiettivi di dimensione superiore. Cioè la teoria non era posta in maniera intrinseca. Per aggirare ciò fu sviluppata una sofisticata teoria per gestire i sistemi lineari di divisori (in effetti una teoria di fibrati lineari per sezioni con iperpiani di una candidata immersione nello spazio proiettivo). Furono scoperte molte delle tecniche moderne, nella loro forma embrionale, e in qualche caso la loro articolazione sorpassava il linguaggio tecnico disponibile.

Esponenti[modifica | modifica wikitesto]

Occupano un ruolo d'onore nella scuola i seguenti italiani: Giacomo Albanese, Eugenio Bertini, Luigi Campedelli, Guido Castelnuovo, Oscar Chisini, Federigo Enriques, Michele De Franchis, Pasquale Del Pezzo, Beniamino Segre, Corrado Segre, Francesco Severi, Guido Zappa (con dei contributi anche da parte di Luigi Cremona, Gino Fano, Carlo Rosati, Ruggiero Torelli e Giuseppe Veronese).

Altrove furono coinvolti Henry Frederick Baker e Patrick du Val (Regno Unito), Arthur Byron Coble (Stati Uniti), Emile Picard (Francia), Lucien Godeaux (Belgio), Marie Georges Humbert, Hermann Schubert e Max Noether, e più tardi Erich Kähler (Germania), Hieronymus Georg Zeuthen (Danimarca). Queste figure furono tutte coinvolte nella geometria algebrica, piuttosto che nel perseguimento della geometria proiettiva come geometria sintetica, che durante il periodo in questione era un argomento vasto ma secondario (giudicato per la sua importanza come ricerca).

Sviluppi successivi[modifica | modifica wikitesto]

La nuova geometria algebrica, che successe alla scuola italiana, fu caratterizzata anche dall'uso intensivo della topologia algebrica. Il fondatore di questa tendenza fu Henri Poincaré; durante gli anni trenta fu sviluppata da Solomon Lefschetz, William Vallance Douglas Hodge e John Arthur Todd. La sintesi moderna mise insieme i loro lavori, oltre che i lavori della scuola di Henri Cartan, di Wei-Liang Chow e di Kunihiko Kodaira, con il materiale tradizionale.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]