Integrale ellittico

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In matematica e particolarmente nel calcolo integrale, gli integrali ellittici sono emersi originariamente in connessione con il problema del calcolo della lunghezza degli archi di una ellisse; i primi a studiarli sono stati Giulio Fagnano ed Eulero.

Secondo la definizione moderna, un integrale ellittico è una qualsiasi funzione f che può esprimersi nella forma

 f(x) = \int_{c}^{x} R(t,P(t))\ dt

dove R denota una funzione razionale dei suoi due argomenti, P è la radice quadrata di un polinomio di grado 3 o 4 (di una cubica o di una quartica) privo di radici multiple, e c è una costante.

In generale, gli integrali ellittici non possono essere espressi in termini di funzioni elementari; si hanno eccezioni a questo fatto quando P ha radici ripetute, o quando R(x,y) non contiene potenze dispari di y. Comunque, con appropriate riduzioni delle formule, ogni integrale ellittico può essere riportato a una forma che coinvolge integrali di funzioni razionali, e le tre forme canoniche: integrali ellittici di prima, seconda e terza specie.

Oltre alle forme sopra definite, gli integrali ellittici possono essere espressi nella forma di Legendre e nella forma simmetrica di Carlson. Ulteriori informazioni nella teoria degli integrali incompleti possono essere ricavate tramite l'utilizzo della trasformazione di Schwarz-Christoffel.

Notazione[modifica | modifica sorgente]

Gli integrali ellittici sono spesso espressi come funzioni di argomenti variamente definiti. Queste rappresentazioni sono completamente equivalenti (danno lo stesso integrale ellittico), ma possono confondere a causa del loro differente aspetto. La maggior parte dei testi utilizza uno schema canonico di nomi. Prima di definire gli integrali ellittici, diamo un'occhiata alle convenzioni sui nomi degli argomenti:

Si può notare ovviamente che se si assegna una qualsiasi di queste relazioni, le altre ne sono completamente determinate.

Gli integrali ellittici dipenderanno anche da un altro argomento; anche questo è definito in un numero di modi:

Ancora una volta, specificatene una, le altre ne discendono immediatamente ed è quindi chiaro che si può scegliere quella più comoda. Si noti che u dipende anche da m. Alcune relazioni addizionali che coinvolgono u includono

\cos \phi = \textrm{cn}\; u

e

\sqrt{1-m\sin^2 \phi} = \textrm{dn}\; u.

Questa ultima è qualche volta nota come delta amplitudine ed è scritta come \Delta(\phi)=\textrm{dn}\; u. A volte ci si riferisce in letteratura come parametro complementare, modulo complementare o angolo modulare complementare.

Integrale ellittico incompleto di prima specie[modifica | modifica sorgente]

L' Integrale ellittico incompleto di prima specie F è definito, nella forma di Jacobi, come:

 F(x;k) =
\int_{0}^{x} \frac{1}{ \sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)} }\ dt

Equivalentemente, usando una notazione alternativa,

 F(x;k) = F(\phi|m) = F(\phi\setminus \alpha ) =
\int_0^\phi \frac{1}{ \sqrt{1-\sin^2 \alpha \sin^2 \theta}} \ d\theta

dove si comprende che quando si usa la barra verticale, l'argomento che segue la barra verticale è il parametro (come definito sopra), e, quando si usa la barra obliqua a backslash, l'argomento è il modulo angolare. Si noti che:

F(x;k) = u

con u definito come sopra: le funzioni ellittiche di Jacobi sono le inverse degli integrali ellittici.

Integrale ellittico incompleto di seconda specie[modifica | modifica sorgente]

L' integrale ellittico incompleto di seconda specie E è

 E(x;k) = \int_{0}^{x} \frac{ \sqrt{1-k^2 t^2} }{ \sqrt{1-t^2} }\ dt

In maniera equivalente, usando la notazione alternativa:

 E(x;k) = E(\phi|m) = E(\phi\setminus \alpha ) =
\int_0^\phi  \sqrt{1-\sin^2 \alpha \sin^2 \theta} \ d\theta

In Statistica tale tipologia di integrale può essere utilizzato per rappresentare la lunghezza di curve continue crescenti come la curva di Lorenz (o spezzata di Lorenz) dove Φ=1 e θ=(θ1, θ2, …, θn) che indica il vettore dei parametri che individua l'elemento particolare nella famiglia di funzioni individuate dallo stesso integrale.

Ulteriori relazioni includono:

E(\phi|m) = \int_0^u \textrm{dn}^2 w \;dw =
u-m\int_0^u \textrm{sn}^2 w \;dw = 
(1-m)u+m\int_0^u \textrm{cn}^2 w \;dw

Integrale ellittico incompleto di terza specie[modifica | modifica sorgente]

L' integrale ellittico incompleto di terza specie \Pi è

 \Pi(n; \phi|m) = \int_{0}^{x} \frac{1}{1-nt^2} 
\frac{1} {\sqrt{(1-k^2 t^2)(1-t^2) }}\ dt

oppure

 \Pi(n; \phi|m) = \int_0^\phi  \frac{1}{1-n\sin^2 \theta}
\frac {1}{\sqrt{ (1-\sin^2 \alpha \sin^2 \theta) }} \ d\theta

oppure

 \Pi(n; \phi|m) = \int_0^u \frac{1}{1-n \textrm{sn}^2 (w|m)} \; dw

Il numero n si chiama caratteristica e può assumere qualsiasi valore, indipendentemente dagli altri argomenti. Si noti che il valore \Pi(1;\pi/2|m) è infinito per qualsiasi valore di m.

Integrale ellittico completo di prima specie[modifica | modifica sorgente]

L' integrale ellittico completo di prima specie K è definito come segue:

 K(k) = \int_{0}^{1} \frac{1}{ \sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)} }\ dt

e può essere calcolato in termini di media aritmetica-geometrica.

Può anche essere calcolato con il seguente sviluppo in serie di Taylor:

 K(k) = \frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^{\infty} k^{2n} \frac{((2n)!)^2}{16^n (n!)^4}

oppure in forma di integrale del seno, quando 0 ≤ k ≤ 1

K( k ) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt {1 - k^2 \sin ^2 \theta }}

L'integrale ellittico completo di prima specie è chiamato qualche volta in letteratura anglofona quarter period.

Integrale ellittico completo di seconda specie[modifica | modifica sorgente]

L' integrale ellittico completo di seconda specie E è definito come:

 E(k) = \int_{0}^{1} \frac{ \sqrt{1-k^2 t^2} }{ \sqrt{1-t^2} }\ dt

Oppure se 0 ≤ k ≤ 1:

E( k ) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt {1 - k^2 \sin ^2 \theta}\ d\theta

Cenno storico[modifica | modifica sorgente]

Storicamente le funzioni ellittiche sono state scoperte come funzioni inverse degli integrali ellittici e in particolare la F tale che si abbia F(sn(z;k);k) = z, dove sn denota una delle funzioni ellittiche di Jacobi.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica