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Integrale ellittico

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In matematica, e particolarmente nel calcolo integrale, un integrale ellittico è una qualsiasi funzione che può esprimersi nella forma:

dove denota una funzione razionale dei suoi due argomenti, è la radice quadrata di un polinomio in una variabile di grado o privo di radici multiple e è una costante. La funzione contiene almeno una potenza dispari di , mentre non ha fattori ripetuti.[1]

Il concetto di integrale ellittico è emerso originariamente in connessione con il problema del calcolo della lunghezza degli archi di un'ellisse. I primi ad interessarsene e studiarli sono stati Fagnano ed Eulero.

In generale, gli integrali ellittici non possono essere espressi in termini di funzioni elementari; si hanno eccezioni a questo fatto quando ha radici ripetute, o quando non contiene potenze dispari di . Comunque, con appropriate riduzioni delle formule ogni integrale ellittico può essere riportato a una forma che coinvolge integrali di funzioni razionali, e le tre forme canoniche: integrali ellittici di prima, seconda e terza specie.

Oltre alle forme sopra definite, gli integrali ellittici possono essere espressi nella forma di Legendre e nella forma simmetrica di Carlson. Ulteriori informazioni nella teoria degli integrali incompleti possono essere ricavate tramite l'utilizzo della trasformazione di Schwarz-Christoffel.

Le funzioni ellittiche sono state scoperte come funzioni inverse degli integrali ellittici, e in particolare la tale che si abbia , dove denota una delle funzioni ellittiche di Jacobi.

Notazione[modifica | modifica wikitesto]

Gli integrali ellittici sono spesso espressi come funzioni di argomenti variamente definiti. Queste rappresentazioni sono completamente equivalenti (danno lo stesso integrale ellittico), ma possono confondere a causa del loro differente aspetto. La maggior parte dei testi utilizza uno schema canonico di nomi degli argomenti:

  • è il modulo ellittico (o eccentricità)
  • è il parametro
  • è l'angolo modulare, con .

Si nota che una volta che si assegna una qualsiasi di queste relazioni, le altre ne sono completamente determinate. Gli integrali ellittici dipendono anche da un altro argomento , ossia l'ampiezza, anche definito come il parametro dato da , con una delle funzioni ellittiche di Jacobi.

Alcune relazioni addizionali che coinvolgono includono:

dove la seconda è nota come delta ampiezza, ed è scritta come . A volte in letteratura è chiamata anche modulo complementare.

Integrale ellittico incompleto di prima specie[modifica | modifica wikitesto]

L'Integrale ellittico incompleto di prima specie è definito, nella forma di Jacobi, come:

Equivalentemente, usando una notazione alternativa:

dove si comprende che quando si usa la barra verticale, l'argomento che segue la barra verticale è il parametro (come definito sopra), e quando si usa la barra retroversa l'argomento è il modulo angolare. Si noti che:

con definito come sopra: le funzioni ellittiche di Jacobi sono le inverse degli integrali ellittici.

Integrale ellittico incompleto di seconda specie[modifica | modifica wikitesto]

L'integrale ellittico incompleto di seconda specie è dato da:

In maniera equivalente, usando la notazione alternativa:

In statistica tale tipologia di integrale può essere utilizzato per rappresentare la lunghezza di curve continue crescenti come la curva di Lorenz (o spezzata di Lorenz) dove e che indica il vettore dei parametri che individua l'elemento particolare nella famiglia di funzioni individuate dallo stesso integrale.

Ulteriori relazioni includono:

Integrale ellittico incompleto di terza specie[modifica | modifica wikitesto]

L'integrale ellittico incompleto di terza specie è:

oppure:

o anche:

Il numero si chiama caratteristica, e può assumere qualsiasi valore indipendentemente dagli altri argomenti. Si noti che il valore è infinito per qualsiasi valore di .

Integrale ellittico completo di prima specie[modifica | modifica wikitesto]

L'integrale ellittico completo di prima specie è definito come segue:

e può essere calcolato in termini di media aritmetica-geometrica.

Può anche essere calcolato con il seguente sviluppo in serie di Taylor:

oppure in forma di integrale del seno, quando

L'integrale ellittico completo di prima specie è chiamato qualche volta in letteratura anglofona quarter period.

Integrale ellittico completo di seconda specie[modifica | modifica wikitesto]

L'integrale ellittico completo di seconda specie è definito come:

Può anche essere calcolato con il seguente sviluppo in serie di Taylor:

oppure in forma di integrale del seno, quando :

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) Eric W. Weisstein, Elliptic Integral, in MathWorld, Wolfram Research.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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