Programma di Erlangen

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Nel 1872 Felix Klein pubblicò il manifesto di un programma di ricerca con il nome di Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Con il Programma di Erlangen (Erlanger Programm) (Klein era allora a Erlangen) egli propose una nuova soluzione al problema di come classificare e caratterizzare le geometrie basandosi sulla geometria proiettiva e la teoria dei gruppi.

A quel tempo una famiglia di nuove geometrie non euclidee era già emerso, senza però un'adeguata chiarificazione delle relazioni che intercorrevano tra loro. Il suggerimento di Klein fu innovativo per tre ragioni:

  • la geometria proiettiva veniva evidenziata come il contesto unificante per tutte le altre geometrie da lui considerate. In particolare la geometria euclidea risultava più restrittiva della geometria affine che a sua volta era più restrittiva della geometria proiettiva.

I problemi del diciannovesimo secolo[modifica | modifica sorgente]

C'è una unica 'geometria' o ce ne sono molte? Dai tempi di Euclide il termine 'geometria' indica la geometria dello spazio euclideo a due dimensioni (geometria piana) o a tre dimensioni (geometria solida). Nella prima metà del diciannovesimo secolo ci sono stati diversi sviluppi che hanno complicato la situazione. Le applicazioni necessitavano lo studio della geometria a dimensioni superiori. L'analisi scrupolosa dei fondamenti della geometria euclidea tradizionale aveva rivelato l'indipendenza dell'assioma delle parallele dagli altri assiomi e questo decretò la nascita delle geometrie non euclidee. Klein propose l'idea che tutte queste nuove geometrie fossero solamente casi particolari della geometria proiettiva come era stata sviluppata da Jean-Victor Poncelet, Ferdinand Möbius, Arthur Cayley e altri. Klein suggerì inoltre ai fisici matematici che anche un piccolo sviluppo della punto di vista proiettivo gli avrebbe potuto portare dei benefici sostanziali.

Ad ogni geometria Klein associò un gruppo di simmetrie. La gerarchia delle geometrie si rappresenta quindi tramite una gerarchia di questi gruppi e una gerarchia dei loro invarianti. Per esempio: lunghezze, angoli e aree vengono preservate dalle simmetrie della geometria euclidea mentre solo la struttura di incidenza e il doppio rapporto vengono conservati dalle più generali trasformazioni proiettive. Il concetto di parallelismo, che viene preservato nella geometria affine, non ha senso nella geometria proiettiva. Quindi, estraendo il gruppo di simmetrie sottostante una particolare geometria, la relazione tra diverse geometrie può essere ristabilita a livello di gruppi. Visto che il gruppo della geometria affine è un sottogruppo del gruppo della geometria proiettiva, ogni nozione che risulta invariante nella geometria proiettiva è necessariamente invariante anche nella geometria affine, ma non viceversa. Quando si aggiungono nuove simmetrie si ottiene una teoria più potente, ma con meno concetti e teoremi (che saranno più profondi e più generali).

Spazi omogenei[modifica | modifica sorgente]

In altre parole gli "spazi tradizionali" sono spazi omogenei ma non con un unico gruppo fissato. Se si cambia il gruppo cambia il linguaggio geometrico.

Nel linguaggio odierno i gruppi presi in considerazione nella geometria classica sono tutti ben noti come gruppi di Lie: sono i gruppi classici. Le relazioni specifiche vengono descritte piuttosto semplicemente con un linguaggio tecnico.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Per esempio il gruppo della geometria proiettiva in "n" dimensioni è il gruppo delle simmetrie dello spazio proiettivo "n"-dimensionale (il quoziente del gruppo lineare di ordine "n"+1, rispetto al sottogruppo delle matrici scalari). Il gruppo affine sarà il sottogruppo che mantiene (mappandolo in sé, non puntualmente) l'"iperpiano all'infinito che si è scelto. Questo sottogruppo ha una struttura nota (il prodotto semidiretto del gruppo lineare di grado "n" con il sottogruppo delle traslazioni). Questa descrizione ci dice quindi quali sono le proprietà 'affini'. In termini della geometria euclidea piana, il concetto di "parallelogramma" è affine, in quanto le trasformazioni affini mantengono questa proprietà. Il concetto di "cerchio", invece, non è affine in quanto una distorsione affine può mandare un cerchio in una ellisse.

Per spiegare accuratamente qual è la relazione tra la geometria affine e quella euclidea, dobbiamo ora individuare il gruppo della geometria euclidea all'interno del gruppo affine. Il gruppo euclideo risulta essere (nella precedente descrizione del gruppo affine) il prodotto semidiretto del gruppo ortogonale (rotazioni e riflessioni) con le traslazioni.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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