Reazione-diffusione

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In analisi matematica il modello reazione-diffusione è l'equazione parabolica la cui omogenea associata è l'equazione della diffusione: il termine di sorgente viene chiamato termine di reazione, in quanto nell'applicazione più frequente dove la funzione incognita è la concentrazione di un composto è dovuto ad una reazione chimica in cui il composto è coinvolto.

Modello generale di Reazione-Diffusione[modifica | modifica sorgente]

Se nell'equazione di diffusione per la funzione u(x, t) è presente un termine non omogeneo di reazione si ha che l'equazione diviene:

\frac{\partial u}{\partial t}-d \nabla^2 u=f(u,x,t)

nota col nome di Equazione di reazione-diffusione. Nella equazione sopra vista, d designa il coefficiente di diffusione. È chiaro che a causa del termine non omogeneo di reazione f(u, x, t), in generale l'equazione non soggiace ad un principio globale di conservazione della quantità di cui u è la densità.

Equazione di Fisher[modifica | modifica sorgente]

Un caso particolare del modello generale di reazione-diffusione, che può essere considerato un'estensione dell'equazione logistica che tiene conto della diffusione spaziale, è stato proposto da Fisher:

\frac{\partial u}{\partial t}-d \nabla^2 u=a u -b u^2

dove il termine di reazione è descritto dal contributo nonlineare: f(u)=a u -b u^2 composto dai termini:

  • generazione malthusiana, cioè proporzionale alla densità: a u;
  • limitazione nonlineare all'accrescimento della densità u, proporzionale al quadrato della densità:-b u^2

Si capisce bene che questo termine definisce un valore critico locale della densità u: u^* =a/b per il quale il termine di reazione si annulla e il processo diviene localmente di pura diffusione. Tale densità critica definisce il limite locale superiore, oltre il quale la densità non può crescere in situazione di regime.

Questa equazione gioca un importante ruolo nello studio del trasferimento di calore e massa e in matematica delle popolazioni (biologia ed ecologia).

Interpretazione ecologica dell'equazione di Fisher[modifica | modifica sorgente]

Supponendo di interpretare la densità u(x, t) come densità di popolamento in un certo punto e in un certo istante, l'equazione di Fisher descrive la combinazione dei seguenti effetti:

  • migrazioni verso regioni ancora disabitate o poco abitate (diffusione);
  • aumento locale della popolazione (generazione malthusiana);
  • freno all'aumento della popolazione (effetto del secondo ordine di saturazione) dato dalla disponibilità limitata di risorse, a causa del quale localmente la popolazione non può superare una certa soglia o densità di saturazione (a/b); al di sopra di questa soglia locale il termine non omogeneo di reazione diviene distruttivo, interpretabile ecologicamente come carestia.

È interessante osservare che questa equazione è stata utilizzata per studiare quantitativamente l'espansione dell'agricoltura nel Neolitico (Ammerman e Cavalli-Sforza).

Esempio del "Brusselatore"[modifica | modifica sorgente]

Siano x1 e x2 le densità di due sostanze chimiche X1 e X2 interagenti secondo la reazione chimica studiata da G. Nicolis e Prigogine (1977):

\mathrm{A} \longrightarrow_{k_1} \mathrm{X_1} \;
\mathrm{2X_1} + \mathrm{X_2} \longrightarrow_{k_2} \mathrm{3X_1} \;
\mathrm{B} + \mathrm{X_1} \longrightarrow_{k_3} \mathrm{X_2} + \mathrm{C} \;
\mathrm{X_1} \longrightarrow_{k_4} \mathrm{D} \;

dove A, B, C, D designano sostanze la cui concentrazione viene mantenuta costante durante la reazione, allora si hanno le seguenti equazioni alle derivate parziali:

\frac{\partial x_1}{\partial t}-d_1 \nabla^2 x_1= k_1 a -(k_4 + k_3 b) x_1 +k_2 x_1^2 x_2
\frac{\partial x_2}{\partial t}-d_2 \nabla^2 x_2= k_3 b x_1 -k_2 x_1^2 x_2

tale modello prende il nome di Brusselatore.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Fisher, R.A., "The wave advance of advantageous genes", Annals of Eugenics, 7:355-369, 1937.
  • Kaliappan, P. "An Exact Solution for Travelling Waves of u_t==Du_(xx)+u-u^k." Physica D 11, 368-374, 1984.
  • Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, p. 131, 1997.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]